I-bob. Chiziqli operatorlar 1-§. Chiziqli uzluksiz operatorlar

1.1.12-ta’rif. va chiziqli operatorlarning yig‘indisi deb, elementga elementni mos qo‘yuvchi operatorga aytiladi.
Ravshanki, chiziqli operator bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda ham chegaralangan operator bo‘ladi va
(1.1.8)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
.
Bu yerdan (1.1.8) tengsizlik kelib chiqadi.
1.1.13-ta’rif. chiziqli operatorning songa ko‘paytmasi elementga elementni mos qo‘yuvchi operator sifatida aniqlanadi, ya’ni
.
1.1.14-ta’rif. va chiziqli operatorlar berilgan bo‘lib bo‘lsin. va operatorlarning ko‘paytmasi deganda, har bir ga fazoning elementini mos qo‘yuvchi operator tushuniladi.
Agar va lar chiziqli chegaralangan operatorlar bo‘lsa, u holda ham chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi va
(1.1.9)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
.
Bu yerdan (1.1.9) tengsizlik kelib chiqadi.
Operatorlarni qo‘shish va ko‘paytirish assotsiativdir. Qo‘shish amali kommutativ, lekin ko‘paytirish amali kommutativ emas.
Agar va lar chiziqli normalangan fazolar bo‘lsa, ham chiziqli normalangan fazo bo‘ladi, ya’ni ,

funksional normaning 1-3 - shartlarini qanoatlantiradi.

1.2-§. Teskari operatorlar
Bizga ni ga akslantiruvchi operator berilgan bo‘lsin. - uning aniqlanish sohasi, esa uning qiymatlar sohasi bo‘lsin.
1.2.1-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun tenglama yagona yechimga ega bo‘lsa, u holda teskarilanuvchan operator deyiladi.
Agar teskarilanuvchan operator bo‘lsa, u holda ixtiyoriy ga tenglamaning yechimi bo‘lgan yagona element mos keladi. Bu moslikni o‘rnatuvchi operator operatorga teskari operator deyiladi va bilan belgilanadi, hamda
.
Bundan tashqari teskari operatorning aniqlanishidan
(1.2.1)
tengliklar kelib chiqadi.
Endi akslantirish ni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi chiziqli operator bo‘lsin. Agar operator uchun bo‘lsa, u holda operator operatorga chap teskari operator deyiladi. Xuddi shunday, tenglik bajarilsa, operator ga o‘ng teskari operator deyiladi.