I-bob. Chiziqli operatorlar 1-§. Chiziqli uzluksiz operatorlar

2.2.1-lemma. Bizga chiziqli operator va qism fazo berilgan bo‘lsin. Agar qism fazo operatorga nisbatan invariant bo‘lsa, u holda uning ortogonal to‘ldiruvchisi bo‘lgan qism fazo operatorga nisbatan invariant bo‘ladi.
Isbot. Haqiqatan ham, agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun

chunki Demak,
Xususiy holda, agar bo‘lsa, u holda ekanligidan ekanligi kelib chiqadi.
Hilbert fazosida qo‘shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:
2.2.2-lemma. Agar bo‘lsa, u holda
1)
2)
3) tengliklar o‘rinli.
Isbot. Birinchi tenglikni isbotlaymiz.


Bundan tenglik kelib chiqadi.
2) ni isbotlaymiz:

Bundan tenglik kelib chiqadi.
3) ning isboti bevosita qo‘shma operator ta’rifidan kelib chiqadi.
Endi operatorlarning Banax va Hilbert qo‘shmalarini topishga doir misollar qaraymiz.
1-misol. va o‘ngga siljitish operatori bo‘lsin (14.1-misolga qarang), ya’ni

bo‘lsin. ga qo‘shma operatorni toping.
Yechish. va lar Banax fazolari bo‘lganligi uchun operatorning Banax qo‘shmasini topamiz. Ma’lumki, operatorning Banax qo‘shmasi barcha va lar uchun
(2.2.6)
tenglikni qanoatlantiruvchi va fazoni fazoga akslantiruvchi operatordan iborat. Bizga ma’lumki, boshqacha aytganda har qanday uchun shunday yagona mavjudki,
(2.2.7)
tenglik barcha lar uchun o‘rinli bo‘ladi. Xuddi shuningdek, shunday mavjudki,
(2.2.8)
tenglik barcha lar uchun bajariladi. (2.2.7) va (2.2.8) tengliklarni hisobga olsak, berilgan operator uchun (15.6) shart quyidagi ko‘rinishga keladi:
. (2.2.9)
Bu tenglik barcha lar uchun bajariladi. Xususiy holda, elementlar uchun (2.2.9) tenglik

tengliklarga aylanadi. Shunday qilib, operator

formula bilan aniqlanar ekan.
2.2.1-teoremaga ko‘ra, ekanligidan ekanligi kelib chiqadi va tenglik bajariladi. Qaralayotgan misolda
2.2.1-teoremaning o‘rinli ekanligini tekshirib ko‘ramiz. operatorning chiziqli ekanligi uning aniqlanishidan ko‘rinib turibdi. tenglik bajarilishini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham,

2. fazoda ko‘paytirish operatorini, ya’ni (11.9-misolga qarang)
(2.2.10)
operatorni qaraymiz. Unga qo‘shma operatorni toping.