I-bob. Chiziqli operatorlar 1-§. Chiziqli uzluksiz operatorlar

Yechish. Hilbert fazolari bo‘lganligi uchun ga Hilbert ma’nosidagi qo‘shma operatorni topamiz. operatorning chiziqli va chegaralanganligi misolda ko‘rsatilgan. ga qo‘shma operatorni topish uchun skalyar ko‘paytmani qaraymiz. fazodagi skalyar ko‘paytmadan foydalansak,

Bundan

ni olamiz. Bu yerdan ning qo‘shmasi o‘ziga teng bo‘lishi uchun sonlarning haqiqiy bo‘lishi zarur va yetarlidir degan xulosaga kelamiz.
3. kompleks Hilbert fazosida, funksiyaga ko‘paytirish operatorini, ya’ni

operatorni qaraymiz. Bu yerda – chegaralangan va o‘lchovli funksiya. ga qo‘shma operatorni toping.
Yechish. Hilbert fazolari bo‘lganligi uchun ga Hilbert ma’nosidagi qo‘shma operatorni topamiz. funksiyaning chegaralangan va o‘lchovli ekanligidan operatorning aniqlanish sohasi ekanligi va ning chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. Ta’rifga ko‘ra, operatorning qo‘shmasi hamma lar uchun
(2.2.11)
tenglikni qanoatlantiruvchi operatordan iborat. Agar biz fazodagi skalyar ko‘paytmadan foydalansak, (2.2.11) tenglikni quyidagicha yozishimiz mumkin:

Bu tenglikdan

ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdan bo‘lishi uchun, deyarli barcha larda bo‘lishi zarur va yetarlidir degan xulosaga kelamiz.
4. Endi Hilbert fazosida yadro bilan aniqlanuvchi integral operatorni, ya’ni
(2.2.12)
operatorni qaraymiz. Bu yerda - kvadratda aniqlangan chegaralangan va o‘lchovli funksiya. operatorga qo‘shma operatorni toping.
Yechish. funksiyaning chegaralangan va o‘lchovli ekanligidan, uning fazoga qarashli ekanligi kelib chiqadi. Fubini teoremasidan (19.1-teorema) foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:


Bu yerdan
(2.2.13)
tenglik kelib chiqadi. Хususan, (15.12) ko‘rinishdagi operator fazoda o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishi uchun, deyarli barcha lar uchun
(2.2.14)
tenglikning bajarilishi yetarli va zarurdir.