I bob koordinatalar sistemalari va to’G’ri chiziq tenglamalari 1 Dekart va qutb koordinatalar sistemasi

I BOB KOORDINATALAR SISTEMALARI VA TO’G’RI CHIZIQ TENGLAMALARI
1.1 Dekart va qutb koordinatalar sistemasi
Biror to‘g‘ri chiziqda hisob boshi (kuzatuv nuqtasi, nuqta) ni tanlaymiz. nuqtadan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab ikki tomonga yo‘nalish mumkin. Bu yo‘nalishlardan bittasini musbat yo‘nalish deb olish mumkin. Biz quyidagilarga kelishib olamiz. Agarda hisob boshi tayinlangan to‘g‘ri chiziq:
kuzatuvchining qo‘llari yoyilgan holatiga parallel bo‘lsa, undagi (kuzatuvchiga nisbatan) chapdan o‘ngga yo‘nalishni;
kuzatuvchining nigohiga parallel bo‘lsa, undagi (kuzatuvchiga nisbatan) orqadan oldga yo‘nalishni;
kuzatuvchining tik holatiga parallel bo‘lsa, undagi pastdan tepaga yo‘nalishni
musbat yo‘nalish deb qabul qilamiz.
Yo‘nalish kelishib olingach, to‘g‘ri chiziqda birlik kesma ko‘rsatiladi.
Hisob boshi, musbat yo‘nalishi va birlik kesmasi tayinlangan to‘g‘ri chiziq koordinata o‘qi deb yuritiladi. Tayinlangan hisob boshi koordinata boshi deyiladi. Koordinata o‘qlari odatda , , yoki , , kabi belgilanadi.
Tekislikda koordinatalar sistemasi quyidagicha kiritiladi.
Ikkita , koordinata o‘qlari shunday kesishsinki,
ular perpendikulyar bo‘lsin;
ularning koordinata boshlari ustma-ust tushsin;
va o‘qlarning musbat yo‘nalishlari ustma-ust tushguncha o‘qini umumiy koordinata boshiga nisbatan eng qisqa burish soat strelkasi harakatiga qarama-qarshi bo‘lsin.
Koordinata boshi, musbat yo‘nalishlari va birlik kesmalari tayinlangan, , , shartlarni qanoatlantiruvchi tekislik to‘g‘ri burchakli koordinatalar tekisligi deyiladi va odatda kabi belgilanadi.
Endi fazoda koordinatalar sistemasini kiritamiz. Buning uchun o‘ng qo‘l qoidasini bilish talab etiladi. Kafti gorizontal tutilgan o‘ng qo‘lning bosh barmog‘ini gorizontal kerilgan holatda, ko‘rsatkich barmog‘ini gorizontal yoyilgan holatda, o‘rta barmoq kaftga perpendikulyar tutilgan bo‘lsin. Musbat yo‘nalishlarni bosh barmoq, ko‘rsatkich barmoq va o‘rta barmoqning shu holati bo‘yicha aniqlash o‘ng qo‘l qoidasi deyiladi.
Uchta , va koordinata o‘qlari shunday kesishsinki,
ular o‘zaro perpendikulyar bo‘lsin;
ularning koordinata boshlari ustma-ust tushsin;
, va o‘qlarning musbat yo‘nalishlari o‘ng qo‘l qoidasi asosida belgilansin. Bunda o‘qning musbat yo‘nalishi bosh barmoq yo‘nalishi, o‘qning musbat yo‘nalishi ko‘rsatkich barmoq yo‘nalishi va o‘qning musbat yo‘nalishi o‘rta barmoq yo‘nalishi bilan bir xil bo‘lishi talab etiladi.
Koordinata boshi, musbat yo‘nalishlari va birlik kesmalari tayinlangan, , , shartlarni qanoatlantiruvchi fazo to‘g‘ri burchakli koordinatalar fazosi deyiladi va odatda kabi belgilanadi.
shart tekislikda, shart fazoda orientatsiyani aniqlaydi deyishadi.

Son o‘qi (hisob boshi, musbat yo‘nalish va birlik kesma ko‘rsatilgan to‘g‘ri chiziq)

Tekislikdagi Dekart koordinatalar sistemasi

Fazodagi Dekart koordinatalar sistemasi

Demak, koordinata o‘qi (yoki son o‘qi) deganda koordinata boshi, birlik kesmasi va musbat yo‘nalishi aniqlangan to‘g‘ri chiziq tushuniladi.
Koordinata boshi, koordinata o‘qlari va orientatsiyasi yuqoridagi usulda aniqlangan koordinatalar sistemasi mos ravishda tekislikdagi yoki fazodagi Dekart koordinatalar sistemasi deyiladi.
1. Son o‘qidagi (umuman olganda har qanday to‘g‘ri chiziqdagi) har bir nuqtasi bitta va faqat bitta haqiqiy son bilan ifodalanadi. Bu son shu nuqtaning koordinatasi deyiladi.
Aytaylik, son o‘qida nuqta berilgan bo‘lsin. nuqtaga mos sonni orqali belgilaylik. U holda son nuqtaning koordinatasi bo‘ladi. Bu holat kabi belgilanadi.
Son o‘qidagi va nuqtalar orasidagi masofa

kabi aniqlanadi. Bu masofa orqali ham ifodalanadi: .
2. Dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan tekislik koordinatalar tekisligi deb ham yuritiladi. koordinatalar tekisligidagi har bir nuqta ikkita haqiqiy sonlarning tartiblangan jufti orqali yagona usulda (yoki, boshqacha aytganda, o‘zaro bir qiymatli) ifodalanadi. Bu sonlarning tartiblangan jufti mazkur nuqtaning koordinatalari deyiladi.
koordinatalar tekisligidagi nuqta haqiqiy sonlarning tartiblangan jufti orqali ifodalangan bo‘lsin. Bu holda juftlik nuqtaning koordinatalari bo‘ladi va kabi belgilanadi. son nuqtaning abssissasi, son esa nuqtaning ordinatasi deyiladi.
koordinatalar tekisligida va nuqtalar orasidagi masofa
(1.1.1)
formula orqali topiladi.
3. Dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan fazodagi har bir nuqta uchta haqiqiy sonlarning tartiblangan uchligi orqali yagona usulda ifodalanadi. Bu sonlar uchligi mazkur nuqtaning koordinatalari deyiladi.
koordinatalar tekisligidagi nuqta haqiqiy sonlarning tartiblangan uchligi orqali ifodalangan bo‘lsin. Bu holda tartiblangan uchlik nuqtaning koordinatalari bo‘ladi va kabi belgilanadi. son nuqtaning abssissasi, son nuqtaning ordinatasi, son esa nuqtaning applikatasi deyiladi.
koordinatalar tekisligida va nuqtalar orasidagi masofa
(1.1.2)
formula orqali topiladi.
Tekislikda biror nuqtani (kuzatuv nuqtasini) tayinlaymiz. Bu tayinlangan nuqtani harfi orqali belgilaylik. nuqtadan chiquvchi biror nurni tayinlab olamiz. Aytaylik, kuzatuvchiga nisbatan o‘ngga yo‘nalgan gorizontal nur tayinlangan bo‘lsin. Bu nurni orqali belgilaymiz. nurda birlik kesma ajratamiz. nurdan boshlab qo‘yiladigan burchaklarni qaraymiz. burchakning nurdan soat strelkasi harakatiga qarama-qarshi yo‘nalishda burilishi musbat burilish deb qabul qilinadi. Bunda burchakning oraliqdagi qiymatlari qaraladi (boshqacha aytganda, ning har qanday butun qiymatida burchak burchak bilan ayniylashtiriladi, ya’ni
, ).
YUqorida aniqlangan nuqta, birlik kesmasi ko‘rsatilgan nur va musbat burilishi aniqlangan burchakdan tashkil topgan sistema (tekislikdagi) qutb koordinatalari sistemasi deyiladi. Bunda nuqta qutb, o‘q qutb o‘qi, burchak qutb burchagi deyiladi.

Q utb koordinatalari sistemasi

nuqtaning qutb koordinatalari

kelishuvni e’tiborga olganda, tekislikdagi har bir nuqta o‘zining qutb koordinatalari orqali yagona usulda aniqlanadi. Aytaylik, tekislikdagi biror nuqtaning qutb koordinatalari , ya’ni bo‘lsin. Bu erda – qutb ( nuqta) dan nuqtagacha masofa, – qutb o‘qi ( o‘q) va o‘q orasidagi burchak. masofani nuqtaning qutb radiusi, burchakni nuqtaning qutb burchagi deyishadi. Bayon qilingan qutb koordinatlar sistemasi kabi belgilanadi.
Qutb koordinatalari bilan berilgan ikkita va nuqtalar orasidagi masofa
(1.1.3)
formula orqali hisoblanadi.
Tekislikdagi nuqtaning Dekart koordinatalaridan qutb koordinatalariga
, 1.1.4)
tengliklar orqali o‘tiladi.

Teskari o‘tish, ya’ni tekislikdagi nuqtaning qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o‘tish

, (1.1.5)
tengliklar orqali amalga oshiriladi.
(1.1.4) va (1.1.5) formulalar muhim ahamiyatga ega. Ular o‘zgaruvchilarni almashtirishning yaqqol misoli bo‘ladi va yoy uzunligini, egri chiziqli trapetsiya yuzasini, aylanish jismlarining sirti yuzasini hamda
hajmini hisoblashda ishlatiladi.
Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar.
(1.1.1) formuladan (1.1.3) formulani keltirib chiqaring.
(1.1.3) formuladan (1.1.1) formulani keltirib chiqaring.