I bob koordinatalar sistemalari va to’G’ri chiziq tenglamalari 1 Dekart va qutb koordinatalar sistemasi

1.3.3-misol. funksiya grafigini chizing.
Yechilishi. Qutb koordinatalar sistemasida ba’zan funksiyalarning grafiklari nuqta-lar bo’yicha chiziladi.
qiymatlar uchun jadval tuzamiz.

Koordinatalar tekisligidayuqorida topilgan nuqtalarning o’rinlarini topib, ularni chiziqlar bilan birlashtirish natijasida bo’lganda funksiyaning grafigi hosil bo’ladi.

1.3.4-misol. ( va o’zgarmas musbat sonlar) funksiyaning grafigini chi-zing.
Yechilishi. Butenglama bilan berilgan chiziq logarfimik spiral deyiladi.Uni chizish uchun burchakka ixtiyoriy qiymatlar berib, bu qiymatlarni berlgan tenglamaga qo’yamiz va undan ning bu qiymatlariga mos bo’lgan ning qiymatlarini aniq-laymiz:
Agar qiymatlarni qabul qilib o’sib borsa, tenglamadan aniqlangan ning qiymatlari quyidagicha bo’ladi:
.
Ushbu

nuqtalarni olamiz.
Qutb koordinatalar sistemasida yuqorida topilgan nuqtalarning o’rnini topib, ular-ni ravon chiziq yordamida birlashtirish natijasida funksiyaning grafigi hosil bo’ladi.
1.3.5-misol. funksiyaning grafigini chizing.
Yechilishi. funksiyani tekshirishda, uni funksiya bilan taqqoslanadi. funksiya da aniqlangan, demak, ham da aniqlangan.
toq funksiya, demak, qutbga nisbatan simmetrik.
davriy funksiya, uning eng kichik musbat davri , u holda ham davriy funksiya bo’lib, uning davri bo’ladi.
funksiya chegaralangan , demak, funk-siya ham chegaralangan . funksiya dagi nuqtada maksimumga nuqtada esa minimumga ega bo’ladi, funksiyamos ravishda va nuqtalarda va ekstremum qiymatlariga ega bo’ladi.
funksiya oraliqlarda o’suvchi, oraliqlarda esa kamayuvchi, demak, mos ravishda funksiya ham oraliqlarda o’suvchi, oraliqlarda esa kamayuvchi.
funksiya grafigi asimptotaga ega emas, u holda funksiya ham asimptotaga ega bo’lmaydi.
Demak, egri chiziq markazi qutbda ,radiusi ga teng bo’lgan doirada joylashadi.
egri chiziqning qutbga nisbatan simmetrikligi va uning davriyligini hisobga olib, kesmada funksiyaning grafigini quramiz.
Bu grafikni yasash uchun, dastlab xarakterli nuqtalarni topamiz:
Bu nuqtalarni ravon chiziq yordmida birlashtiramiz, natijada dagi funksiyaning grafigi hosil bo’ladi. egri chiziqning qutbga nisbatan simmetrikligini hisobga olsak, uchun egri chiziq grafigini chizamiz. Qutb atrofida burchakni burish natijasida funksiyaning grafigi hosil bo’ladi.
Qutb koordinatalar sistemasida funksiya grafiklarini almashtirish. Qutb koordi-natalar sistemasida funksiyaning grafigi ham Dekart koordi-natalar sistemasidagi funksiyaning grafigi kabi chizilib, bunda quyidagi xossalarga asoslanadi:
va funksiyalarning grafiklari qutb boshiga nisbatan simmetrik bo’ladi.
va funksiyalarning grafiklari qutb o’qiga nisbatan simmetrik bo’ladi.
funksiyaning grafigi funksiyaning grafigini qutb o’qi bo’ylab marta qisish (cho’zish) natijasida hosil qilinadi.
funksiyaning grafigi funksiyaning grafigini burchakka burish natijasida hosil bo’ladi.
funksiyaning grafigi funksiyaning grafigini qutb o’qi bo’ylab masshtab birligiga parallel ko’chirish natijasida hosil qilinadi.
Misol. funksiyaning grafigini chizing.
Yechilishi. Avvalo, funksiyaning grafigini chizamiz. So’ngra yuqoridagi - bandlarga asosan, , , funksiyalarning grafiklarini ketma-ket chizish natijasida be-rilgan funksiyaning grafigini hosil qilamiz.
Ba’zi masalalarda qutb koordinatalar sistemasidan Dekart koordinatalariga yoki aksincha Dekart koordinatalaridan qutb sistemasiga o’tishga to’g’ri keladi. Bu ma-sala nuqtaning ikkala sistemasiga nisbatan koordinatalari orasidagi mavjud bo’l-gan munosabatlar yordamida hal qilinadi.
Bu munosabatlarni aniqlab olamiz.
Qutb kooordinatalari bilan berilgan ikki nuqta va orasidagi masofani topish formulasi:

Nuqtaning qutb koordinatalariga bog`liq masalalarni yechish namunalarini keltiramiz.

1.3.6-masala. va nuqtalar berilgan bo`lsa, AB kesma o`rtasining qutb koordinatalarini toping.
Yechish. 1-usul. Berilgan A va B nuqtalarni qutb koordinatalari bo`yicha yasaymiz. Qutb radiuslari orasidagi burchak (1.3.2-chizma)

1.3.7- chizma.( qutb radiuslari orasidagi burchak)

bo`lgani uchun A, O, B nuqtalar bir to`g`ri chiziqda yotadi.
AC=CD tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtaning
qutb koordinatalari bo`ladi.
2- usul. A va B nuqtalar dekart koordinatalarini topamiz: AB kesmaning C o`rta nuqtacining dekart koordinatalari



Endi C nuqtaning qutb koordinatalarini topamiz:

Demak,