I bob. Matematika darslarida matematik induksiyaga oid masalalarni yechishning nazariy asoslari

5-misol. Faraz qilaylik lar perimetri ga teg bo‘lgan uchburchakning tomonlari uzunliklari bo‘lsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
.
YECHIMI. kabi belgilash olaylik. U holda ushbu tenglik o‘rinli. Tengsizlik quyidagi shaklga keladi
.
Faraz qilaylik bo‘lsin. U holda yuqoridagi tengsizlik quyidagi tengsizlikka teng kuchli bo‘ladi
,
Oxirgi tengsizlik esa AM-GM tengsizligiga ko‘ra o‘rinli, chunki
.



6-misol. Agar lar shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy musbat sonlar bo‘lsa, quyidagi tengsizlikni isbotlang
.
YECHIMI. Yuqoridagi shart quyidagi munoasabatga teng kuchli
.
Chap tomondagi yig‘indi uchun AM-GM tengsizligini qo‘llab, quyidagi tngsizlikni hosil qilamiz
.
Har bir uchun yuqoridagi kabi munosabatni yozib va ularning mos tomonlarini ko‘paytirib, isbotlanishi lozim bo‘lgan tengsizlikni hosil qilamiz.

7-misol. Agar lar shartni qanoatlantiruvchi nomanfiy sonlar bo‘lsa, quyidagi tengsizlikni isbotlang
.
YECHIMI. Umumiylikka ziyon yetkazmasdan, deb olishimiz mumkin. AM-GM tengsizligiga ko‘ra quyidagi munosabat o‘rinli

.
Demak,

tengsizlikni isbot qilishimiz yetarli. Bu tengsizlik esa quyidagi tengsizlikka teng kuchli
.

8-misol. Agar lar shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy musbat sonlar bo‘lsa, quyidagi tengsizlikni isbotlang
.
(Gazeta Matematicaă)
YECHIMI. AM-GM tengsizligiga ko‘ra quyidagi munosabat o‘rinli




AM-GM tengsizligini qo‘llayotganda eng muhim qoida koeffisientlarni tenglik bajariladigan qilib tanlashdir. Masalan, agar biz yuqorida qaragan 2-misolimizda AM-GM tengsizligini quyidagicha

qo‘llaganimizda hatoga yo‘l qo‘ygan bo‘lar edik (chunki tenglik bajarilmaydi).

Har bir misol uchun AM-GM tengsizligining tayinlangan shaklini berish qiyin. Hammasi o‘quvchining shaxsiy aql-idrikiga bog‘liq, ammo tenglik holini ham qarab chiqish foydali bo‘lishi mumkin. Masalan, yuqoridaqi 2-misolda tenglik bo‘lganda bajariladi, shuning uchun ikkala tarafni ham tenglikka aylantirish maqsadida koeffisientni olamiz :
.