I bob. Matematika darslarida matematik induksiyaga oid masalalarni yechishning nazariy asoslari

1.2 AM-GM tengsizligining tengsizliklarni isbotlashga tatbiqlari
AM-GM tengsizligi juda oddiy; biroq, bu tengsizlik ko‘plab matematika olimpiadalarida muhim rol o‘ynaydi. Quyidagi bir nechta misol sizga AM-GM tengsizligining naqadar muhim ekanligini bilish imkonini beradi.
Faraz qilaylik - uch o‘zgaruvchili funksiya bo‘lsin. Quyidagicha belgilash
kiritamiz:
,
.
Masalan,
;
;
;
.
1-misol. Faraz qilaylik lar yig‘indisi gat eng bo‘lgan haqiqiy musbat sonlar bo‘lsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
.

(Rossiya MO, 2004)

YECHIMI. Ma’lumkin quyidagi ayniyat o‘rinli
.
U holda bizning tengsizligimiz AM-GM tengsizligiga ko‘ra to‘g‘ri bo‘lgan quyidagi tengsizlikka teng kuchli
,
chunki,
.

2-misol. Faraz qilaylik lar shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy musbat sonlar bo‘lsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
.
(XMO Shortlist 1998)
YECHIMI. Biz AM-GM tengsizligini quyidagi tarzda qo‘llaymiz
.
U holda quyidagi tengsizlik o‘rinli
.
.
Tenglik bo‘lganda bajariladi.

3-misol. Faraz qilaylik lar haqiqiy musbat sonlar bo‘lsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
.
(APMO 1998)
YECHIMI. Agar qavslarni ochib chiqsak, hosil bo‘lgan tengsizlik quyidagi tengsizlikka teng kuchli bo‘ladi
,
Bu tengsizlik esa AM-GM tengsizligiga ko‘ra o‘rinli, chunki
.

4-misol. Faraz qilaylik lar haqiqiy musbat sonlar bo‘lsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
.
YECHIMI. Ikkita son uchun AM-GM tengsizligiga ko‘ra quyidagi munosabatga egamiz




Tenglik bo‘lganda bajariladi.