I bob. Matematika darslarida matematik induksiyaga oid masalalarni yechishning nazariy asoslari

II. BOB. MATEMATIKA DARSLARIDA TENGSIZLIKLARNI ISBOTLASHDA HAMDA GEOMETRIK MASALALARNI YECHISHDA INDUKSIYA METODINING AHAMIYATI.
2.1. Tengsizliklarni isbotlashda matematik induksiya usulini qo‘llashga doir misollar.
Teorema (AM-GM tengsizligi). Barcha haqiqiy musbat sonlar uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli
.
Tenglik faqat va faqat bo‘lganda bajariladi.
ISBOTI. bo‘lganda tengsizlik o‘rinli ekanligi ravshan. Agar bu tengsizlik ta son uchun o‘rinli bo‘lsa, u holda ta son uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Chunki
,
Shuning uchun tengsizlik ning darajalaridan iborat barcha lar uchun o‘rinli. Faraz qilaylik tengsizlik ta son uchun o‘rinli bo‘lsin. Quyidagicha belgilash olaylik

Farazimizga ko‘ra quyidagi tengsizlik o‘rinli

Demak, agar biz qarayotgan tengsizlik ta son uchun o‘rinli bo‘lsa, u holda ta son uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Matematik induksiya metodiga ko‘ra tengsizlik istalgan natural uchun o‘rinli. Tenglik
faqat va faqat bo‘lganda bajariladi.
Ma’lumki AM-GM tengsizligi eng mashhur va keng qo‘llaniladigan tengsizlikdir. Shuningdek, bu tengsizlik boshqa tengsizliklarni isbotlash uchun muhim zamonaviy vosita hisoblanadi. Biz bu tengsizlikning kuchli tatbiqlarga ega ekanligini quyidagi mashhur tengsizliklar misolida qarab chiqamiz.


1-tasdiq (Nesbitt tengsizligi). (a). Barcha nomanfiy sonlar uchun quyidagi tengsizlikni isbotlang
.
(b). Barcha nomanfiy sonlar uchun quyidagi tengsizlikni isbotlang
.
ISBOTI. (a). Quyidagi ifodalarni qaraylik
;
;
;
Biz ushbu , tenglikka egamiz. AM-GM tengsizligiga ko‘ra quyidagi tengsizliklar o‘rinli
;
;
Shuning uchun , va , yoki tengsizlik o‘rinli.
(b). Quyidagi ifodalarni qaraylik
;
;
;

Biz ushbu , tenglikka egamiz. AM-GM tengsizligiga ko‘ra quyidagi tengsizliklar o‘rinli

;


;
Shuning uchun , va , yoki tengsizlik o‘rinli. Tenglik , yoki yoki bo‘lganda bajariladi.

2-tasdiq (Umumlashgan AM-GM tengsizligi). Faraz qilaylik lar haqiqiy musbat sonlar bo‘lsin. Agar ta nomanfiy sonlarning yig‘indisi ga teng bo‘lsa, u holda quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi
.
ISBOTI. Bu tengsizlikning isboti AM-GM tengsizligining yuqorida keltirilgan isboti bilan butunlay bir xil.
Biroq, bizga hol uchun batafsil isbot zarur (chunki tengsizlikning o‘ng tomonidagi ko‘paytmada qatnashayotgan sonalrning darajalari haqiqiy sonlardan iborat). Biz isbotlashimiz kerakki, agar va bo‘lsa, u holda quyidagi tengsizlik o‘rinli

So‘nggi tengsizlikni isbotlashning eng oddiy yo‘llaridan biri bu – dastlab ratsional lar uchun isbotlab, so‘ngra limitga o‘tishdir. Agar lar ratsional sonlar bo‘lsa: va , , tengsizlik AM-GM tengsizligiga ko‘ra o‘rinli
.
Agar lar haqiqiy sonlar bo‘lsa, u holda shunday va ratsional sonlar ketma-ketligi topiladiki, ushbu shartlar bajariladi. U holda ravshanki quyidagi tengsizlikl o‘rinli

yoki
.
Bundan da limitga o‘tib, ushbu tengsizlikni hosil qilamiz.