I. harakat tenglamalari

§1.5. Energiya va to`xtash nuqtalarini topish. 

 

1-masala.  Agar  Lagranj  funksiyasi  quyidagicha  ko`rinishda  bo`lsa,  energiya 

topilsin: 









,

,

(

)

n

n

n

n

n

L

T q q

A q q

U q







, 

bu erda 

A , T  lar mos ravishda 

n

q

 ning chiziqli va kvadratik funktshiyalaridir. 

Yechilishi. (1.6) formulaga asosan 

n

n

n

L

E

q

L

q





 





n

n

n

n

n

n

T

A

q

q

q

q

























 

,

,

n

n

n

n

n

T q q

A q q

U q





 

Lekin, bir jinsli funksiyalar uchun Eyler teoremasiga ko`ra 

2

k

k

k

T

q

T

q









,  

n

n

n

A

q

A

q









.  

Shuning uchun  E

T

U

 

. 

2-masala. 

Lagranj 

funksiyasi 

quyidagi 

boshlang`ich 

shartlarni 

qanoatlantiruvchi moddiy nuqta harakatining to`xtash nuqtasi tîpilsin.  

2

sin

2

x

L

x





, 

0

0

x



 да 

0

1

x



 

Yechilishi:  Kinetik  energiya  nolga  teng  bo`ladigan  nuqtalar  ( E

U



  ni 

qanoatlantirgan, yoki 

0

0

x



 bo`lgan) to`xtash nuqtalari deyiladi.  

Energiyaning saqlanish qonunidan foydalanamiz: 

2

sin

2

L

x

E

x

L

x

x





  





. 

Boshlang’ich shartlarga asosan: 

2

0

0

0

1

sin

2

2

x

E

x







 ga teng.  

Zarra to’xtaganda 

0

x



 bo’ladi, ya’ni 

0

E

U

E

 

. Demak, 

1

sin

2

x



. 

Bu erdan 

6

x





 to’xtash nuqtasi ekanligini topamiz. 

3-masala.  Lagranj  funktsiyasi  quyidagicha  bo’lgan  sistemaning  energiyasi 

topilsin:  

2

2

2

1

3 cos

2

2

ml

L

l





























. 

Yechilichi:  

i

i

L

E

q

L

q





  







 







2

2

2

ml

  

  









2

2

2

1

3 cos

2

2

ml

l





























2

2

2

1

3 cos

2

2

ml

l





























. 

 

 

 

 

 

 

 

1.5.-Misollar. 

 

1. Quyidagi Lagranj funksiyalariga mos energiya topilsin. 

 

а) 

2

1

,

,

L

v

Av

A





  





 лар фа=атгина 

k

q

 ларнинг функцияси. 

б) 

2

2

2

2

mx

kx

L





, 

в) 

2

2

(

1)

x

L

x

e







, 

г) 





2

2

1

2

2

2

2

sin

sin

2

2

m

m

m

L

r

r

m



















 

 

2.  1.1.-misollarda  berilgan  Lagranj  funksiyasi  bilan  xarakterlanuvchi  sistemalarning 

energiyasini toping. 

3.  Quyidagi  Lagranj  funksiyasi  va  boshlang`ich  shartlarga  tegishli  sistemalarning 

to`xtash nuqtalarinè òîïèíã: 

 

а) 

2

1

,

L

x

x

  



  

0

1

x



,  

0

1

2

x



. 

b) 

2

2

,

x

x

x

L

x







,  

0

1

x



,  

0

1

x



. 

v) 

2

cos ,

2

mx

L

x





  

0

0

x



,  

0

1

x

m



. 

g) 

2

2

1

x

xx

L

x







,  

0

1

x



,  

0

3

x



. 

d) 

2

2

1

L

x

x





,  

0

1

x



,  

4

1

U

r



. 

e) 

2

2

L

x

tg x





,  

0

0

x



,  

2

1

,

2

U

r

 

. 

j) 

2

x

L

x

e





,  

0

0

x



,  

0

2

x



. 

z) 

2

2

1

x

x

L

x







,  

0

3

x



,  

0

1

x



. 

i) 

2

ln

L

x

x





,  

0

1

x



,  

0

ln

x

e



. 

k) 

2

1

,

2

mx

L

x





  

0

2

x



,  

0

2

x

m



. 

l) 

2

/

0

1

2

x a

L

mx

U e





,  

0

0

x



, 

0

0

0

2U

x

v

m

 

. 

m) 

2

2

0

1

,

2

L

mx

U ch kx







0

0

E

E

 



.  

n) 

2

2

3

1

1

1

2

2

3!

L

mx

kx

ax







,  

 

3

0

k

x

a



,  

 

0

0

x



. 

1) 

3

0,

k

x

x

a





       2) 

2

0,

k

x

x







       3)  x

l





. 

о) 

2

2

4

1

1

1

2

2

4

L

mx

kx

x









, 

 

2

0

k

x





,  

 

0

0

x



. 

p) 

2

0

1

cos

2

x

L

mx

U

l

 





 

 

,  

 

0

0

x



, 

 

0

4

0

U

x

m



. 

 

 

 

 

 

 

 

§1.6. Elektromagnit maydonlardagi harakat. 

 

Zarraning  elektromagnit  maydondagi  harakatining  Lagranj  funksiyasini 

quyidagicha yozib olish mumkin:  









2

1

, ,

, ,

2

ум

L r r t

mr

U

r r t





, 





 

 

, ,

,

,

ум

e

U

r r t

e

r t

rA r t

c







  

 (1.15) 

bu  yerda  e -zarraning  zaryadi,  c -yorug`lik  tezligi, 



  va  A   mos  ravishda 

elektromagnit  maydonning  skalyar  va  vektor  potensiallari, 

ум

U -umumlashgan 

potensial energiya (ahamiyat bering, potensial energiya tezlikka bog`liq). 

Odatda  elektromagnit  potensiallari 



  va  A   lar  elektr  va  magnit  maydon 

kuchlanganliklari   va 

H  lar bilan o`zaro bog`liqdirlar:  

1 A

E

grad

c t





 





,        

H

rotA



 

(1.16) 

Umumlashgan impulð (1.7) dan odatdagidek topiladi:  

( , )

i

i

i

i

L

e

p

mx

A r t

x

c











 

(1.17) 

Bu yerdan Lagranj tenglamasi (harakat tenglamasi) (1.8) ni tuzish mumkin: 

i

i

i

i

d

e

e

A

m x

A

e

v

dt

c

x

c

x













 















 

(1.18) 

Lagranj tenglamasi (1.17) ni quyidagi holda yozib olish mumkin: 

e

mr

eE

vH

c







  

 

(1.19) 

Haqiqatdan ham (1.18) larni hisobga olib (1.16) dan: 

j

i

i

i

j

j

i

i

j

A

e

e

A

A

mx

e

x

x

x

c

x

c

t

x















 





























1

i

i

A

e

x

c

t





























 

j

i

j

i

i

j

A

e

A

e

x

eE

rH

c

x

x

c









































,  

(1.20) 

chunki  

,

j

i

ijk

k

ijk

j

k

i

i

j

A

A

H

x H

rH

x

x

















  





.   

Xuddi shuningdek, "umumlashgan" impulð momenti (1.17) dan aniqlanadi: 

e

M

r mr

A

c





























 

(1.21) 

 Zarraning bir jinsli o`zgarmas elektr va magnit  

E r



 

, 

 

1

2

A

H r





  

 

(1.22) 

maydonlardagi harakatida yuqoridagi ifodalar "tanish" ko`rinishga ega bo`ladilar:  

2

1

2

2

e

L

m r

eE r

v H r

c















,  

2

1

2

E

mr

eEr





, 

2

e

p

m r

H r

c













,  

2

e

p

eE

v H

c













,  

(1.23) 

 

M

r p



,  

 

2

e

M

e rE

H r v

c

 









 





. 

Ma`lumki,  maydon  kuchlanganliklarining  potensiallar  orqali  aniqlanishi  bir 

qiymatli emas. Haqiqattan ham, (1.16) dagi ifodalardà  

1 df

c dt



 



  

, 

A

A

A

f





  

, 

(1.24) 

 

almashtirishlar  bajarganimiz  bilan 

E   va  H   larning  qiymati  o`zgarmaydi.  Bu  yerda 

( , )

f x t -koordinata va vaqtning ixtiyoriy funksiyasi. Bunday simmetriyani kalibrovka 

invariantligi deyiladi.