I. Imomov, E. Nizomxonov Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

 Empirik taqsimot funksiyasining xossalari: 

1. 

Empirik taqsimot funksiyasining qiymatlari 

 

1

;

0

  kesmada yotadi. 

2.

 

x

F



 - kamaymaydigan funksiya. 

3. 

Agar 

1

x  - eng kichik varianta  bo’lsa, u holda 

1

x

x



 lar uchun 

 

0





x

F

 va 

2

x  eng katta 

varianta  bo’lsa, u holda 

2

x

x



 lar uchun 

 

1





x

F

. 

Chastotalar  poligoni  deb 



 







k

k

n

x

n

x

n

x

,

,

,

;

,

;

2

2

1

1



    nuqtalarni  tutashtiruvchi  siniq 

chiziqqa aytiladi.  

Nisbiy 

chastotalar 

poligoni 

deb 



 







k

k

x

x

x







,

,

,

;

,

;

2

2

1

1



 

 

nuqtalarni 

tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi. 

 

Tanlanmani grafik usulda tasvirlashda tanlanmaning  hajmi kam bo’lganda poligondan, agar 

hajmi  katta  bo’lsa  yoki  kuzatilayotgan  kattalik  uzliksiz  xarakterga  ega  bo’lsa,  gistogrammadan  

foydalaniladi. 

  

Chastotalar  (nisbiy  chastotalar)  gistogrammasi  deb,  i -  to’g’ri  to’rtburchak  asosi  h  

uzunlikdagi 





i

i

x

x ,

1



  qism  intervaldan  iborat  bo’lib,  balandligi  esa 

h

n

i

/       (

h

i

/



)  nisbatga  teng 

bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklardan iborat  zinapoyasimon figuraga  aytiladi. 

 

Gistogramma  qurish  uchun  tanlanmaning  barcha  variantalari  yotgan  interval  h   qadam 

bilan 





i

i

x

x ,

1



  qism  intervallarga  bo’linadi  va  har  bir  interval    uchun  unga  tushgan  variantalar 

chastotalarining yig’indisi 

i

n  topiladi. So’ng qism intervallarni asos qilib 

h

n

i

/  (nisbiy chastotalar 

gistogrammasi uchun 

 

h

n

h

n

i

/

/

1







) balandlikdagi to’g’ri to’rtburchaklar quriladi.  

 

i -to’g’ri  to’rtburchakning  yuzasi 

i

i

n

h

h

n





  ga  (nisbiy  chastotalar  gistogrammasi  uchun 

n

n

h

h

i

i

i

/

/











)  teng.  Demak,  chastotalar  gistogrammasining  yuzasi  barcha  chastotalar 

yig’indisiga  teng.  Nisbiy  chastotalar  gistogrammasining  yuzasi  barcha  nisbiy  chastotalar 

yig’indisiga teng, ya’ni  1 ga teng.  

Namunaviy masalalar yechish 

 

Masala: Hajmi n=20 ga teng bo’lgan tanlanma chastotalar taqsimoti 













3

6

7

4

:

8

7

5

1

:

i

i

n

x

  

ko’rinishda. Nisbiy chastotalar taqsimotini toping. 

 

Yechish: Nisbiy chastotalarni  topish uchun chastotalarni tanlanma hajmiga bo’lamiz:  

15

,

0

20

/

3

;

3

,

0

20

/

6

;

35

,

0

20

/

7

;

2

,

0

20

/

4

/

1

1

2

1

1



























n

n

 

 

Tanlanmaning nisbiy chastotalar taqsimoti: 

 













15

,

0

3

,

0

35

,

0

2

,

0

:

8

7

5

1

:

i

i

x



. 

 

Taqsimot noma’lum parametrlarining statistik baholari 

 

Aytaylik  bosh  to’plamning  biror  miqdoriy  ko’rsatkichini  baholash  talab  qilinsin.  Nazariy 

mulohazalardan ana shu  ko’rsatkichning taqsimotiga  ega ekanligi ma’lum bo’lsin. Tabiiy ravishda 

bu  taqsimotni  aniqlaydigan  parametrlarni  baholash  masalasi  kelib  chiqadi.  Odatda  kuzatish 

natijalari, ya’ni tanlanma qiymatlaridan boshqa ma’lumot bo’lmaydi. 

Noma’lum parametrning statistik yoki empirik bahosi deb tasodifiy miqdorning kuzatilgan 

qiymatlari funksiyasiga aytiladi. 

Ixtiyoriy  hajmdagi  tanlanma  uchun  matematik  kutilmasi  baholanayotgan  parametrga  teng 

bo’lgan  statistik baho siljimagan baho deyiladi.  

Matematik  kutilmasi  baholanayotgan  parametrga  teng  bo’lmagan    statistik  baho  siljigan 

baho deyiladi. 

Eng kichik dispersiyaga ega bo’lgan  statistik baho effektiv baho deyiladi. 

Katta hajmdagi tanlanmalar bilan ish ko’rilganda bahoga asoslilik  talabi qo’yiladi. 





n

 

da  baholanayotgan  parametrga  ehtimollik  bo’yicha  yaqinlashuvchi  statistik  baho  asosli  baho 

deyiladi. 

Bitta kattalik bilan aniqlanadigan  statistik baho nuqtaviy baho deyiladi 

Baholanayotgan parametrni qoplaydigan intervalning chegaralarini bildiruvchi ikki miqdoriy 

kattalik bilan aniqlanadigan statistik baho interval baho deyiladi. 

Nuqtaviy  baholar.    X   tasodifiy  miqdorning  kuzatilgan  qiymatlari  quyidagi  statistik 

taqsimotga ega: 













k

k

n

n

n

n

x

x

x

x





3

2

1

3

2

1

, 

bu yerda  

i

i

x

n



 





k

i

,

1



  variantaning chastotasi va 







k

i

i

n

n

1

 - tanlanma hajmi. 

Tanlamaning  o’rta  qiymati  bosh  to’plamning  siljimagan  bahosi  bo’lib  xizmat  qiladi. 

Haqiqatan ham  















n

i

n

i

i

i

i

i

MX

x

n

n

x

n

n

X

1

1

1

 

 

Tanlamaning dispersiyasi  bosh to’plamning dispersiyasi  uchun siljigan baho bo’lib xizmat 

qiladi: 



















k

i

i

i

n

i

i

T

n

X

x

n

i

X

X

n

D

1

2

1

2

)

(

)

(

1

 

 

BT

T

D

n

n

D

M

1





  -  bo’lgani    uchun  bu  baho  siljigandir. 

BT

D

  -  bosh  to’plamning 

dispersiyasi. 

“Tuzatilgan”  dispersiyasi  bosh  to’plam  dispersiyasining  siljimagan  bahosi  bo’lib  xizmat 

qiladi: 









i

n

i

i

n

i

i

T

n

X

x

n

n

X

X

n

n

D

n

n

S



























2

1

2

1

2

1

1

1

 

 

BT

D

S

M



2

 bo’lgani uchun bu siljimagan bahodir. 

Tanlama dispersiyani hisoblaganda quyidagi foydalanish qulay: 



















n

i

i

i

n

i

i

T

X

n

x

n

X

X

n

D

1

2

2

1

2

2

1

1

 

T

T

D





 - tanlanmaning o’rtacha kvadratik chetlashishi deyiladi.  

 “Tuzatilgan” o’rtacha kvadratik chetlashish tanlama “tuzatilgan” dispersiyasidan olingan 

kvadrat ildizi bilan aniqlanadi: 

T

D

n

n

S

1





. 

Bosh  to’plam  modasining  bahosi  sifatida  tanlanma  eng  ko’p  uchraydigan  varianta  bilan 

aniqlanuvchi tanlanmaviy moda ishlatiladi, ya’ni: 

 





.

max

:

mod

0

0

i

i

i

i

T

n

n

x





    

Bosh  to’plam  medianasining  bahosi  sifatida 

n

x

x

x









2

1

  variatsion  qatorining  o’rtasi 

to’g’ri keladigan varianta yoki variantalar bilan aniqlanuvchi tanlanmaviy mediana ishlatiladi: 

 

























.

'

,

,

'

,

2

1

1

2

/

1

2

/

2

/

lsa

bo

toq

п

агар

x

lsa

bo

juft

п

агар

x

x

med

n

n

n

T

 

Eng  katta  va  eng  kichik  variantalar  orasidagi  farq 

min

max

x

x

R





  tanlanmaning  kengligi 

deyiladi. 

M

- bosh to’plamdagi bizni qiziqtirgan xossaga ega bo’lgan elementlar sonining 

N

 - bosh 

to’plam elementlarining umumiy  soniga nisbati bosh ulush deyiladi: 

N

M

p



. 

Bosh  ulushning  nuqtaviy  bahosi  sifatida  tanlanmaviy  ulush,  ya’ni  tanlanmadagi  bizni 

qiziqtirgan xossaga ega bo’lgan elementlar soni  m ning tanlanma elementlarining umumiy soni  n  

ga 

n

m





 xizmat qiladi. 

Tanlanma  o’rta  qiymatining  tanlanmaviy  taqsimoti:    katta  sonlar  qonuni  va  markaziy 

limit teoremasidan  agar bosh to’plam normal taqsimot qonuniga bo’ysunsa, u holda tanlanma o’rta 

qiymat 

X

  ham  normal  taqsimot  qonuniga  bo’ysunshi  kelib  chiqadi.  Tanlanma  hajmi    yetarlicha 

katta  bo’lganida  qanday  taqsimot  qonuniga  ega  bo’lishidan  qat’iy  nazar  o’rta  qiymat 

X

  baribir 

normal taqsimot qonuniga bo’ysunar ekan. Shunday qilib, agar bosh to’plam  a  matematik kutilma 

va 

2



 dispersiyaga ega bo’lsa, u holda tanlanma o’rta qiymati 















n

a

N

X

2

;



 bo’lar ekan. Demak,  





;

/

/





































n

a

Ф

n

a

Ф

X

P













   





















n

Ф

a

X

P

/

2





. 

 

Taqsimot noma’lum parametrlarining interval baholari 

 

Yuqorida  ko’rib  chiqilgan  baholarning    hammasi  nuqtaviy  baholar  edi.  Kichik  hajmdagi 

tanlanmalarda  nuqtaviy  baholar  baholanayotgan  parametrdan  sezilarli  farq  qilishi  mumkin.  Shu 

sababli  tanlanma  hajmi  kichik  bo’lganida  bahoning  aniqligi  va  ishonchliligini  yaxshiroq 

ta’minlaydigan interval baholardan foydalanish  o’rinlidir. 

Interval baholar intervalning chegaralarini bildiruvchi ikkita  miqdor bilan aniqlanadi. 

Tanlanma bo’yicha topilgan 





 statistik kattalik 



  noma’lum parametrning  bahosi bo’lsin.  

Albatta, 









  ayirma  qanchalik  kichkina  bo’lsa, 





  statistik  baho 



    parametrni  shuncha  aniq 

baholaydi.  Shunday  qilib, 













  shartni  qanoatlantiruvchi 



>0  son  baho  aniqligining 

ko’rsatkichidir. 





 statistik bahoning ishonchligi  deb  













 tengsizlikning bajarilish ehtimoli 



 ga 

aytiladi, ya’ni  

















































P

P

. 

Odatda bahoning ishonchligi  oldindan beriladi  va 



  sifatida birga  yaqin  qiymatlar olinadi, 

masalan, 0,95;  0,99; 0,999. 

Noma’lum  parametrni  berilgan 



  ishonchlilik  bilan  qoplaydigan 





















;

  interval 

ishonch intervali deyiladi. 

 

Normal taqsimot dispersiyasi ma’lum bo’lgan holda uning mftemftik kutilmasi uchun 

interval baho 

X   -  a   va 

2



  parametrlar  bilan  normal  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor,  ya’ni 





2

,



a

N

  

bo’lib,  a   noma’lum  va 

2



  ma’lum  bo’lsin.  Noma’lum 

a   parametrni 



  ishonchlilik  bilan 

qoplaydigan ishonch oralig’ini topamiz.  

Tanlanmaning  qiymatlari   

n

X

X

X

,

,

,

2

1



  - 





2

,



a

N

  parametrli  normal  taqsimlangan 

tasodifiy  miqdorning  kuzatish  natijalaridan  iborat.  Ma’lumki, 





n

X

X

n

X









1

1

  tanlanmaning 

o’rta qiymati 

 

a

X

M



; 

 

n

X







 parametrli normal taqsimotga ega.  















a

X

P

 munosabat o’rinli bo’lishini talab qilamiz va bizga ma’lum bo’lgan 

 





























n

Ф

a

X

P

2

          yoki     





 

t

Ф

a

X

P

2









,  





n

t



 

 formuladan foydalanamiz. Oxirgi tenglikdan: 

n

t







. Demak,  

 

t

Ф

n

t

a

X

P

2





















. 

 Tenglikning  chap tomon berilgan va u 



 ga teng. U holda  

                         

 































t

Ф

n

t

X

a

n

t

X

P

2

, 

ya’ni  



 ishochlilik  bilan  

















n

t

X

n

t

X





;

ishonch oralig’i 

a  noma’lum parametrni qoplaydi, 

deb ta’kidlash mumkin.  

Izoh: Yuroridagi munosabatdagi  t  kattalikni 

 

2







t

 tenglikdan ilovadagi  Laplas integral  

fuksiyasi qiymatlari keltirilgan 4-jadvaldan topiladi. Bahoning aniqligi 

n

t







  ga teng bo’ladi.  

  

 

Normal taqsimot dispersiyasi noma’lum bo’lgan holda uning matemftik kutilmasi 

uchun interval baho 

 

a

X



  va   

2



  parametrlar  bilan  normal  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor,  ya’ni 





2

,



a

N

 

bo’lib,  parametrlar  a   va 



  larning  qiymati  noma’lum  bo’lsin.  Noma’  lum 

a   parametrli 



    

ishochlilik  bilan  qoplaydigan  ishoch  oraligini  topamiz  .  Tanlanmaning  qiymatilari  (variantalari) 

bo’yicha erkinlik darajasi 

1





n

h

 bo’lgan Styudent taqsnimotli T tasodifiy miqdorni aniqlaymiz: 

                                             

n

s

X

T

/

2







 

Bu  yerda  X   -  tanlanma  o’rta  qiymat,  s  –“tuzatilgan”  o’rtacha  kvadiratik  chetlashish,  n-

tanlanma  hajmi  bilan  aniqlanadi  va 



,

a

    noma’lum  parametrlarga  bo’gliq  emas. 

 

t

n

S ,   zichlik 

funksiyasi –

t  bo’yicha juft fuksiyasi bo’lgani uchun  

 





 







































dt

t

n

S

t

n

s

a

X

P

t

T

P

t

,

2

/

0

  

yoki 





























n

s

t

X

a

n

s

t

X

P

 

Shunday  qilib, 

















n

s

t

X

n

s

t

X





;

  ishonch  oralig’i  a   noma’lum  parametrni 



  

ishochiilik bilan qoplaydi.