I. Imomov, E. Nizomxonov Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

funksiyasi deyiladi. 

 

 

x

F

x

f





 

Zichlik funksiyasining xossalari:    

1. 

 

x

F

 - kamaymaydigan funksiya bo’lgani uchun 

 

0



x

f

.  

2.  Zichlik  funksiyasi  berilgan  bo’lsa,  taqsimot  funksiyasi 

 

 









x

dt

t

f

x

F

  formula  bilan 

aniqlanadi. 

3.  X  tasodifiy  miqdorning 

 

b

a;

  oraliqdan  qiymat  qabul  qilish  ehtimolligi: 





 









b

a

dx

x

f

b

X

a

P

 . 

4. Zichlik funksiyasidan 











:

 oraliq bo’yicha olingan integral birga teng: 

 











1

dx

x

f

 

 

X  tasodifiy miqdor o’zining  taqsimot funksiyasi 

 

x

F

 yoki zichlik funksiyasi 

 

x

f

 bilan 

bir qiymatli aniqlanadi. 

 

 

p

x

F

p



  bilan aniqlanadigan  

p

x

 kattalik taqsimotning  p - tartibli kvantili deyiladi. 0,5 

- tartibli kvantili taqsimot medianasi deyiladi: 

0

x

medX



. 

 

Agar  zichlik  funksiyasi  maksimum  nuqtaga  ega  bo’lsa, 

 

x

f

  funksiyani  maksimumga 

erishadigan 

x  argumentning qiymati taqsimot modasi deyiladi. 

Namunaviy masalalar yechish 

 

Masala:  X  tasodifiy miqdorning  zichlik funksiyasi  

kx

e

cx

x

f





2

)

(

,     













x

k

0

;

0

. 

a)  c koeffitsientni aniqlang; 

b)  X  tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.  

d)  X  tasodifiy miqdorning 





k

/

1

;

0

 oraliqqa tushish ehtimolligini toping. 

Yechish: a) c koeffitsientni 

 











1

dx

x

f

 tenglikdan aniqlaymiz: 

 

1

2























dx

e

cx

dx

x

f

kx

;  

1

0

2























dx

e

x

c

kx

 

 

Ikki marta bo’laklab integrallasak, 

2

/

3

k

c



 va zichlik funksiyasi 

 

kx

e

x

k

x

f





2

3

2

 hosil bo’ladi. 

b) X  tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini quyidagicha topamiz: 

kx

x

x

kt

e

kx

x

k

dt

e

t

k

dt

t

f

x

F

























2

2

2

1

2

)

(

)

(

2

2

0

2

3

;  







x

0

. 

c) 

X  tasodifiy miqdorning 





k

/

1

;

0

 oraliqqa tushish ehtimolligini topamiz: 

 

086

,

0

2

/

5

1

)

0

(

/

1

)

/

1

;

0

(











e

F

k

F

k

P

 

Mustahkamlash uchun masalalar  

1.  X tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi berilgan: 

  

























3

,

1

3

2

,

2

2

,

0

2

x

x

x

x

x

F

 

a)  zichlik funksiyasini; 

b)  X  ning (1; 1,25) oraliqqa tushish ehtimolligini toping. 

2. 

 

1

;

0

da tekis taqsimlangan  X  tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot funksiyasiga ega bo’lsa, 

zichlik funksiyasini toping: 

 

 





















1

,

1

1

0

,

0

,

0

x

x

x

x

x

F

 

2.  X  tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan: 















;

,

1

)

(

2

x

A

x

f

. 

a) A koeffitsientni;    b) taqsimot funksiyasini;    d) 





1

0





X

P

 ehtimollikni toping. 

 3.  X  tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan: 

 

 

 

























x

x

x

x

x

f

,

0

0

,

sin

5

,

0

0

,

0

 

a) taqsimot funksiyasini; b)  X  ning (1; 

4

/



) oraliqqa tushish ehtimolligini toping. 

 

 

 

Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteriatikalari 

 

Barcha 

OX

  sonlar  o’qida  qiymatlar  qabul  qiluvchi  X   uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  

matematik kutilmasi  

 











dx

x

xf

MX

   

bilan aniqlanadi.  

 Matematik kutilmaning xossalari:   

1. 

;

C

MC



  2. 

 

MX

C

CX

M





      

3. 





MX

MX

Y

X

M







;    

Agar 

 

X

Y





  barcha 

OX

  sonlar  o’qida  qiymatlar  qabul  qiluvchi  X   tasodifiy 

argumentning funksiyasi bo’lsa, u holda  

 





   











dx

x

f

x

X

M





. 

Butun 

OX

  sonlar  o’qida  qiymatlar  qabul  qiluvchi  X   uzluksiz  tasodifiy  miqdorning 

dispersiyasi   



  













dx

x

f

MX

x

DX

2

                            

kabi aniqlanadi. 

 

X  uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasining xossalar: 

 1. 

0



DC

;   2. 

 

DX

C

CX

D

2



;  3. 





DY

DX

Y

X

D







. 

Agar 

 

X

Y





  barcha 

OX

  sonlar  o’qida  qiymatlar  qabul  qiluvchi  X tasodifiy 

argumentning funksiyasi bo’lsa, u holda  

 





 

 







  

   

 









2

2

2

X

M

dx

x

f

x

dx

x

f

X

M

x

X

D



































 

X   uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  o’rtacha  kvadratik  chetlanishi  deb  dispersiyadan 

olingan kvadratik ildizga aytiladi.  

 

DX

X





. 

X uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  modasi  deb,  zichlik  funksiyasi  maxsimum  qiymati 

erishadigan argumentning qiymatiga aytiladi. 

Barcha 

OX

  sonlar  o’qida  qiymatlar  qabul  qiluvchi    X uzluksiz  tasodifiy  miqdorning 

k

- 

tartibli boshlang’ich momenti quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:  

 











dx

x

f

x

v

k

k

 

Barcha 

OX

  sonlar  o’qida  qiymatlar  qabul  qiluvchi    X   uzluksiz  tasodifiy  miqdorning 

k

- 

tartibli markaziy momenti quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: 



  













dx

x

f

MX

x

k

k



 

Ta’rifga ko’ra 

1



k

 da  

,

1

MX

v



  

0

1





 va 

2



k

 da  

2

1

2

2

v

v

DX









 

3

1

1

1

3

3

2

3

v

v

v

v









; 

Namunaviy masalalar yechish 

Masala:  X   tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi:  

 





















2

,

0

2

0

,

2

/

0

,

0

x

x

x

x

x

f

,    

?



MX

  

?



DX

  

?

)

(



X



 

Yechish:  

  

















2

0

2

3

/

4

5

,

0

)

(

dx

x

dx

x

xf

MX

;  





















2

0

2

2

9

/

2

)

3

/

4

(

5

,

0

)

(

)

3

/

4

(

xdx

x

dx

x

f

x

DX

; 

47

,

0

)

(





DX

X



. 

Masala:  X  tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi:  

 





















4

,

0

4

0

,

4

/

0

,

0

x

x

x

x

x

F

 

X  tasodifiy miqdorning 3-tartibli boshlang’ich va markaziy momentlarini toping. 

 

Yechish:  

 

























4

,

0

4

0

4

/

1

0

,

0

)

(

x

x

x

x

F

x

f

 

















4

0

2

25

,

0

)

(

dx

x

dx

x

xf

MX

;  

















4

0

3

3

3

16

25

,

0

)

(

dx

x

dx

x

f

x

v

; 





















4

0

3

3

3

3

/

16

)

2

(

25

,

0

)

(

)

(

dx

x

dx

x

f

MX

x



. 

Mustahkamlash uchun masalalar 

1. Sotishga qo’yilgan har biri 100 sh.p.b. dan 10 ta motordan hech bo’lmaganda 1 ta nosozi 

chiqsa,  xaridorga  partiyaning  2  barobari  miqdoridagi  narxi  qaytariladi.  Har  bir  motorning  nosoz 

bo’lish ehtimoli 0,08 ga teng bo’lsa, sotuvchining kutilayotgan daromadini toping. 

2.  Imtihon  testlarida  15  ta  savol  bo’lib,  ularning  har  birida  5  tadan  javob  variantlari  bor. 

Javoblarning  faqat  bittasi  to’g’ri.  Aytaylik,  talaba  birorta  ham  savolga  to’g’ri  javobni  bilmaydi. 

Uning hech bo’lmaganda 10 ta savolga to’g’ri javob berish ehtimolligii qancha? 

3.  X   tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi:  

 



























2

,

1

2

2

,

5

,

0

4

2

,

0

x

x

x

x

x

F

             

?



MX

      

?



DX

 

 

 

 

Ba’zi  uzluksiz tasimot qonunlari 

Tekis  ta1simot  qonuni  - 

 

b

a

R ;

. 

 

b

a,

  chekli  oraliqdan  qiymatlar  qabul    qiluvchi  X  

uzluksiz tasodifiy miqdorning  zichlik funksiyasi shu oraliqda  o’zgarmas songa teng bo’lib,  oraliq 

tashqarisida  nolga  teng  bo’lsa,  bunday  tasodifiy  miqdorga  bir  xil  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor 

yoki    tekis  taqsimot  qonuniga  bo’ysunuvchi  tasodifiy  miqdor  deyiladi.  Tekis  taqsimot  qonuniga 

bo’ysunuvchi  tasodifiy miqdorning:  

 

 

 

















b

a

x

a

b

b

a

x

x

f

;

,

1

;

,

0

            -    zichlik funksiyasi 

 

 

























b

x

b

x

a

a

b

a

x

a

x

x

F

,

1

,

,

0

             -  taqsimot funksiyasi 

 

 

2

a

b

MX





                                 - matematik kutilmasi; 





12

a

b

DX





                              -  dispersiyasi, 

 

3

2

a

b

X







                               -  o’rtacha kvadratik chetlanishi. 

EXSEL dasturining standart funksiyalari: 

Statistik    funksiyalar:  (0;1)  oraliqda  tekis  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  bitta 

qiymatini hisoblovchi  maxsus 

()

SLCHIS

 nomli funksiya hisoblaydi. 

(a;b)  orliqda  tekis  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  bitta  qiymatini  hisoblovchi    maxsus 

)

_

;

_

(

CHEGARA

YUQORI

CHEGAR

QUYI

U

SLCHISMEJD

 nomli funksiya hisoblaydi. 

Ko’rsatkichli    taqsimot  qonuni  - 

 

x

Г



   





0





.  Musbat  qiymatlar  qabul  qiluvchi 

tasodifiy miqdor bo’lib, uning 

 















0

0

,

,

0

x

x

e

x

f

x





                -    zichlik funksiyasi; 

 

 

x

e

x

x

Г

x

















0

,

1

0

,

0





           -  taqsimot funksiyasi 

 



1



MX

                                 - matematik kutilmasi; 

2

1





DX

                              -  dispersiyasi; 

 





1



X

                               -  o’rtacha kvadratik chetlanishi