I. Imomov, E. Nizomxonov Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

EXSEL dasturining standart funksiyalari: 

Statistik  funksiyalar: Ko’rsatkichli taqsimot uchun zichlik 

 

 

 















0

0

,

,

0

x

x

e

x

f

x





 yoki taqsimot  

 

















0

,

1

0

,

0

x

e

x

x

F

x



 funksiyalarining qiymatlarini 

maxsus: 

)

;

;

(

INTEGRAL

LYAMBDA

X

EKSPRASP

nomli  funksiya  hisoblaydi.  Bunda  X  -  funksiya 

hisoblanish  kerak  bo’lgan  qiymati  (x); 

LYAMBDA

 

- 

taqsimotning 



 

parametri; 

)

(

A

TERUEISTIN

ROST

INTEGRAL



 va 

)

(

'

FALSHELOJ

ON

YOLG

 qiymatlarini qabul qiladi. 

 Mustahkamlash uchun masalalar 

1.  X   tasodifiy  miqdor  (a;b)  oraliqda  tekis  taqsimlangan. 

?



MX

12

/

1



DX

  bo’lsa, 

?

?





b

a

 

2. Kompyuter qattiq diskining xizmat muddati o’rtachasi 12 000 soatga teng bo’lgan 

ko’rsatkichli taqsimot qonuniga bo’ysunadigan tasodifiy miqdordan iborat. Xizmat muddati 20 000 

soatdan oshadigan qattiq disklarning ulashi qancha? 

3.  Tomoshabinlarning  reklama  roligi  mazmunini  eslab  turish  muddati 

25

,

0





  parametrli 

eksponensial qonunga bo’ysunadi. 7 kundan so’ng reklamani eslay oladigan tomoshabinlar ulushini 

toping. 

 

Tasodifiy miqdor funksiyasining taqsimot qonuni 

 

Diskret hol. Diskret  x  tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan: 









n

n

p

p

p

R

x

x

x

2

1

2

1

:

:



 

 

x

g

y



  -  haqiqiy  argumentning  monoton  funksiyasi  bo’lsin.  U  holda 

x   tasodifiy 

miqdorning funksiyasi bo’lgan 

 





g



 diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni:  

   

 









n

n

p

p

p

R

x

g

x

g

x

g

2

1

2

1

:



 

Uzluksiz  hol.   

x - 

 

x

F



  taqsimot  funksiyasi  va 

 

x

f



  zichlik  funksiyasi  bilan  berilgan  

uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsin. 

 

x

g

y



 - monoton o’suvchi funksiya, 

 

y

g

x

1





 - unga teskari 

funksiya bo’lsin. U holda 

 

x

g





 uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagicha 

topiladi: 

 





 





 





 





y

g

F

y

g

P

y

g

P

y

P

y

F

1

1





























 

Oxirgi tenglikni  y  bo’yicha differentsiallab, quiydagini hosil qilamiz: 

 

 





 

y

g

dy

d

y

g

F

y

F

1

1















, 

bu  tenglikdan 

 

x

g





  uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  zichlik  funksiyasi  uchun  formula  kelib 

chiqadi: 

 

 





 













y

g

y

g

f

y

f

1

1





 

 

x

g

y



  -  monoton  kamayuvchi  funksiya, 

 

y

g

x

1





  -  unga  teskari  funksiya  bo’lsin.  U 

holda yuqoridagi mulohazalardan so’ng quyidagi formulani hosil qilamiz: 

 

 





y

g

F

y

F

1









;       

 

 





 















y

g

y

g

f

y

f

1

1





. 

Shunday  qilib,  agar   



  uzluksiz  tasodifiy  miqdor 

 

x

f



  zichlik  funksiyasi  bilan  berilgan 

bo’lib, 

 

x

g

y



  differentsiallanuvchi,  monoton  o’suvchi  yoki  monoton  kamayuvchi  funksiya  va 

   

y

y

g







1

    unga    teskari  funksiya  bo’lsa,  u  holda 

 





g



  tasodifiy  miqdorning  zichlik 

funksiyasi quyidagi tenglikdan aniqlanadi: 

 

 



  

y

y

f

y

f















 

Amaliyotda asosan 

 

x

g

y



 - monoton  funksiya bo’lgan holda qo’llaniladi. 

Agar 

 

x

g

y



  -  funksiya    aniqlanish  sohasida  monoton    bo’lmasa,  u  holda  bu  sohani  

funksiya  monotonik  oraliqlariga  bo’linib,  har  bir  monotonik  oralig’i    uchun 

 

y

f

i

  zichlik 

funksiyasini aniqlash va   

 

 





i

i

y

f

y

f

 yig’indi shaklida tasvirlash kerak bo’ladi.  

Namunaviy masalalar yechish 

Masala:  X  diskret tasodifiy miqdorning taqsimoti berilgan: 

1

,

0

3

,

0

4

,

0

2

,

0

4

/

3

2

/

4

/

:

i

i

p











 





sin



 tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini tuzing. 

 

Yechish:  

1

,

0

3

,

0

4

,

0

2

,

0

0

2

/

2

1

2

/

2

i

i

p



       



          

5

,

0

4

,

0

1

,

0

2

/

2

1

0

i

i

p



 

Masala: 

)

(x

f



  -  (a;  b)  oraliqda  o’zgaruvchi    X   tasodifiy  miqdorning  zichlik  funksiyasi. 

2

5









 tasodifiy miqdorning 

)

( y

f



 zichlik funksiyasini toping.  

Yechish:   

2

5





x

y

  funksiya  differentsiallanuvchi  va  o’suvchi  bo’lgani  uchun 

)

)

(

))(

(

(

)

(

1

1









y

g

y

g

f

y

f





 formula o’rinli. 

2

5

)

(





x

x

g

 funksiyaga teskari funksiya  

5

2

)

(

1









y

x

y

g

. 

 















 





5

2

1

y

f

y

g

f





; 





5

/

1

)

(

1







y

g

;  

 















 





5

2

5

1

1

y

f

y

g

f





; 

 

Mustahkamlash uchun masalalar 

1. 



 diskret tasodifiy miqdorning taqsimoti berilgan: 

5

,

0

1

,

0

4

,

0

:

5

3

1

:

p



, 





3



 diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni yozing. 

2. 



 diskret tasodifiy miqdorning taqsimoti berilgan: 

1

,

0

7

,

0

2

,

0

:

4

/

3

2

/

4

/

:

p









 , 





sin



 diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni yozing. 

3. 



 diskret tasodifiy miqdorning taqsimoti berilgan: 

1

,

0

3

,

0

3

,

0

2

,

0

1

,

0

:

2

1

0

1

2

:

p







, 

 















;

1

2

 tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni yozing. 

 

 

Ikki tasodifiy argument funksiyasi. 

Kompozitsiya formulasi 

 

 Agar  tasodifiy  miqdorning  har  bir 





Y

X ,

  juftligida  biron  Z   tasodifiy  miqdorning  bitta 

qiymati mos kelsa, u holda  

Z

 ikki tasodifiy argument funksiyasi 





Y

X

Z

,





 deyiladi. 

2  ta  bog’liqsiz 

Y

X ,

  tasodifiy  miqdorlar  yig’indasining 

 

z

f

Y

X



  zichlik  funksiyasi 

qo’shiluvchilarning zichlik funksiyalari 

 

x

f

X

  va 

 

y

f

Y

  yordamida kompazitsiya formulasidan 

aniqlanadi: 

 

  

















dx

x

z

f

x

f

z

f

Y

X

Y

X

      yoki   

 

  



dy

y

z

f

y

f

z

f

X

Y

Y

X















. 

Agar 

Y

X ,

 argumentlarning qiymatlar to’plami manfiy bo’lmasa, u holda 

Y

X

Z





 

tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi formuladan topiladi: 

 

  











z

Y

X

Y

X

dx

x

z

f

x

f

z

f

0

      yoki    

 

  



dy

y

z

f

y

f

z

f

z

X

Y

Y

X









0

. 

2  ta  o’zaro  bog’liq  bo’lmagan  tasodifiy  miqdorlar  yig’indisi 

Y

X

Z





  ning  taqsimot 

funksiyasi quyidagi formuladan topiladi: 

 

   













z

y

x

Y

X

Y

X

dxdy

y

f

x

f

z

F

 

2  ta  o’zaro  bog’liq  bo’lmagan  deskret  tasodifiy  miqdorlar  uchun  ham  kompazitsiya 

formulasi mavjud: 







 



,

















i

i

i

x

Z

Y

P

x

X

P

Z

Y

X

P

 bunda  





0





i

x

X

P

. 

 

Namunaviy masalalar yechish 

Masala:  O’zaro  bog’liqbo’lmagan  X   va  Y   diskret  tasodifiy  miqdorlar  taqsimot  qonuni 

bilan berilgan: 

7

,

0

3

3

,

0

1

:

:

p

X

,                            

4

,

0

6

,

0

:

4

2

:

p

Y

 

 

Y

X

Z





  tasodifiy miqdorning taqsimoti topilsin. 

Yechish:   

Z

  ning  barcha  mumkin  bo’lgan  qiymatlarini  topamiz: 

3

2

1

1







z

; 

5

4

1

2







z

; 

5

2

3

3







z

; 

7

4

3

4







z

.  Bu  qiymatlarning  ehtimolliklarini  topamiz. 

3



Z

 

bo’lishi  uchun 

2

,

1

1

1





y

x

  bo’lishi  yetarli.  Tasodifiy  miqdorning  bu  qiymatlarni  qabul  qilish 

ehtimolliklari taqsimot qonuniga asosan mos ravishda 0,3 va 0,6 ga teng.   X  va 

Y

 o’zaro bog’liq 

bo’lmagani uchun 

1



X

 va 

Y

=2 hodisalar ham o’zaro bog’liq emas. Demak, bu hodisalarning bir 

paytda ro’y berish  ehtimolliklari 

18

,

0

6

.

0

3

.

0





 gat eng. Xuddi shuningdek: 





12

,

0

4

,

0

3

,

0

5

4

1













Z

P

 





42

,

0

7

,

0

6

,

0

5

2

3













Z

P

 





28

,

0

.,

0

7

,

0

7

4

3













Z

P

 

 

Izlanaayotgan taqsimot qonunini topamiz:  

28

.

0

54

.

0

16

.

0

7

5

3

:

p

Z

. 

Mustahkamlash uchun masalalar 

1.  O’zaro  bog’liqbo’lmagan  X   va  Y   diskret  tasodifiy  miqdorning  taqsimot  qonuni  bilan 

berilgan: 

5

,

0

1

,

0

4

,

0

:

16

12

10

:

p

X

  

8

,

0

2

,

0

:

2

1

:

p

Y

 

 

Y

X

Z





  tasodifiy miqdorning taqsimoti topilsin. 

2.  O’zaro  bog’liqbo’lmagan  X   va 

Y

    diskret  tasodifiy  miqdorning  taqsimot  qonuni  bilan 

berilgan: 

3

,

0

7

,

0

:

10

4

:

p

X

2

,

0

8

,

0

:

7

1

:

p

Y

 

 

Y

X

Z





  tasodifiy miqdorning taqsimoti topilsin. 

 

 

 

Ikki tasodifiy  muqdor sistemasi 

2  o’lchovli  tasodifiy  miqdor 





Y

X ,

  orqali  belgilanadi.  Bunda  X   va 

Y

  tasodifiy 

miqdorlarning  har  biri  “tashkil  etuvchilar”  yoki  “kompanentalar”  deb,  ular  birgalikda  esa  “ikki 

tasodifiy miqdor sistemasi” deb ataladi. 

2 o’lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi formulaga aytiladi:  

  



y

Y

x

X

P

y

x

F







,

,