I kirish II. Asosiy qism kombinatorik masalalar va tartiblangan to‘plamlar va o'rin almashishlar

6-xossa.
7-xossa.
8-xossa.
Oxirgi tenglik Koshi ayniyati deb ataladi.
2-misol. Chekli A to‘plam 2^A bo‘lganining elementlari va bu elementlar soni bilan binomial koeffitsientlarning uzviy bog‘lanishi bor. Bu bog‘lanish quyidagicha ifodalashi mumkin. Chekli A toplam 2^A bo’lgani tarkibidagi elementlar A to‘plamning qism to‘plamlaridan iborat bolgani uchun, shu qism to‘plamlarni quvvatlari bo‘yicha ta guruhlarga ajratish mumkin. Tushunarliki, bu yerda k raqamli guruh quvvati k ga teng bo‘lgan barcha qism to‘plamlardan tashkil topadi va undagi qism to‘plamlar soni ga teng. Bu mulohazani hisobga olgan holda 2-xossa yordamida ushbu bobning 1paragrafidagi 1-teoremaning boshqa bir isbotiga ega bo‘lamiz.

3.UMUMLASHGAN O‘RINLASHTIRISHLAR VA GURUHLASHLAR

1. O‘rin almashtirishlar. Elementlari bo‘lgan to‘plamni qaraymiz. Bu to‘plam elementlarini har xil tartibda joylashtirib (yozib), tuzilmalar
(kombinatsiyalar) hosil qilish mumkin, masalan,

Bu tuzilmalarning har birida berilgan to‘plamning barcha elementlari ishtirok etgan holda ular bir-biridan faqat elementlarning joylashish o‘rinlari bilan farq qiladi. Shu usul yordamida hosil qilingan kombinatsiyalarning har biri berilgan to‘plam elementlarining o‘rin almashtirishi deb ataladi.
Aslida “o‘rin almashtirish” iborasi to‘plam elementlarining o‘rinlarini o‘zgartirish harakatini anglatsada, bu yerda uni shu harakat natijasidagi hosil bo‘lgan tuzilma sifatida qo‘llaymiz. Bu iboradan uning asl ma’nosida ham foydalanamiz.
O‘rin almashtirishni ifodalashda uning elementlarini ajratuvchi belgi sifatida yuqorida “,” (vergul) belgisidan foydalaniladi. Ammo bu muhim emas, bu yerda boshqa belgidan ham foydalanish, hattoki, yozuvning ixchamligi maqsadida, elementlar orasidagi ajratuvchi belgilarni tushirib qoldirish ham mumkin. Bu eslatma bundan keyin bayon etiladigan boshqa kombinatorik tuzilmalar uchun ham o‘rinlidir.
To‘plam tushunchasiga asoslanib, bu yerda qaralayotgan o‘rin almashtirishlar tarkibida elementlarning takrorlanmasligini eslatib o‘tamiz. Shu sababli bunday o‘rin almashtirishlarni betakror (takrorli emas) o‘rin almashtirishlar deb ham atash mumkin.
Berilgan n ta elementli to‘plam uchun barcha o‘rin almashtirishlar sonini bilan belgilash qabul qilingan.
Bitta elementli to‘plam uchun faqat bitta a ko‘rinishdagi o‘rin almashtirish ravshandir: =1.
Ikkita elementli to‘plam elementlaridan o‘rin almashtirishlarni bitta elementli to‘plam uchun a o‘rin almashtirishidan foydalanib quyidagicha tashkil qilamiz: b element a elementdan keyin yozilsa a,b o‘rin almashtirishga, oldin yozilsa esa b,a o‘rin almashtirishga ega bo‘lamiz. Demak, ko‘paytirish qoidasiga (ushbu bobning 1-paragrafiga qarang) binoan ikkita o‘rin almashtirish bor: =2= .
Uchta elementli to‘plam uchun ab va ba o‘rin almashtirishlardan foydalanish mumkin. Berilgan to‘plamning c elementini ab va ba o‘rin almashtirishning har biriga uch xil usul bilan joylashtirish mumkin: ularning elementlaridan keyin, elementlarining orasiga va elementlaridan oldin. Ko‘paytirish qoidasini qo‘llasak, uchta elementli to‘plam uchun oltita ( ) har xil o‘rin almashtirishlar hosil bo‘lishini aniqlaymiz. Ular quyidagilardir:
{a, b, c},{a, c, b},{b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a},