I kirish II. Asosiy qism kombinatorik masalalar va tartiblangan to‘plamlar va o'rin almashishlar

2. BINOMIAL KOEFFISIYENTLAR VA ULARGA OID AYNIYATLAR.

O‘rta maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko‘paytirish formulalarini eslaylik: yig‘indining kvadrati; yig‘indining kubi;
Yig‘indining navbatdagi ikkita, ya’ni 4- va 5- darajalarini hisoblaymiz:

Shunday qilib, yig‘indining bikvadrati (ya’ni to‘rtinchi darajasi)

va yig‘indining beshinchi darajasi
formulalariga ega bo‘lamiz.
Yuqorida keltirilgan yig‘indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o‘ng tomonlaridagi ko‘phad koeffisiyentlari Paskal uchburchagining mos qatorlaridagi sonlar ekanligini payqash qiyin emas.

1. 
   Binomial koeffisiyentlar.
   

1-teorema. Barcha haqiqiy va hamda natural sonlar uchun
formula o‘rinlidir.
Isbot. Matematik induksiya usulini qo‘llaymiz. Baza: bo‘lganda fo‘rmula to‘g‘ri: .
Induksion o‘tish: isbotlanishi kerak bo‘lgan formula uchun to‘g‘ri bo‘lsin, ya’ni

Formula bo‘lganda ham to‘gri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:
I xtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun ko‘phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton binomi deb ataladi. Umuman olganda, “Nyuton binomi” iborasiga tanqidiy nuqtai nazardan yondashilsa, undagi ikkala so‘zga nisbatan ham shubha tug‘iladi: birinchidan, ifoda birdan katta natural n sonlar uchun binom (ya’ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyutongacha ma’lum edi.
Greklar ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat n=2 bo‘lgan
holida (ya’ni, yig‘indi kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Hayyom va Ali Qushchi ifodani bo‘lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. Nyuton esa 1767-yilda binom formulasini kasr n sonlar uchun isbotladi. K. Makloren esa bu formulani darajaning ratsional ko‘rsatkichlari uchun qo‘lladi. Nihoyat, 1825 yilda N. Abel daraja ko‘rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi. sonlari bilan binomial koeffitsientlar deb ham atashadi. Bunda ta’rif bu koeffitsientlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o‘rniga qarab berilgan bo‘lib, son
yoyilmadagi ifodaning koeffitsientidir. 2-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun

formula o‘rinli.