I kirish II. Asosiy qism kombinatorik masalalar va tartiblangan to‘plamlar va o'rin almashishlar

3. Takrorli guruhlashlar. Har bir elementni birlashmaga istalgancha marta kiritiladigan va turli n ta elementlardan m tadan olinadigan hamda elementlar tartibi e'tiborga olinmaydigan birlashmalarni (kortejlarni) qaraymiz. Bunaqa birlashmalar n ta turli elementlardan m tadan takrorlanuvchi elementlar qatnashgan guruhlashlar (qisqacha, takrorli guruhlashlar) deb ataladi.
n ta elementlardan m tadan takrorlanuvchi elementlar qatnashgan guruhlashlar ta'rifidan ko‘rinib turibdiki, turli kombinatsiyalar bir-birlaridan hech bo‘lmasa bitta elementi bilan farq qiladi. n ta elementdan m tadan takrorli guruhlashlar sonini deb belgilaymiz.
3-teorema. n ta elementdan m tadan takrorli guruhlashlar soni ga teng, ya’ni .
4 - misol. Har birining yoqlariga 1,2,3,4, 5 va 6 sonlari yozilgan kub shaklidagi ikkita soqqalarni tashlaganda jami nechta sonlar juftligini hosil qilish mumkin?
Soqqalarni tashlaganda jami quyidagi 21 imkoniyatlardan biri ro‘y beradi:
<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>, <2,3 , <2,4>, <2,5>, <2,6>, <3,3>, <3,4>, <3,5>, <3,6>,<4,4>,<4,5>,<4,6>,<5,5>,<5,6>,<6,6>.
Bu juftliklar oltita elementdan ikkitadan takrorli guruhlashlarni tashkil etadi.
Ularning soni 3- teoremaga asosan =21 bo‘ladi.
4. Ko‘phad formulasi. Takrorli kombinatsiyalar vositasida Nyuton binomi tushunchasini umumlashtiramiz, ya’ni ifodaning yoyilmasini topish muammosini qaraymiz.
4-teorema. Ixtiyoriy haqiqiy va natural n sonlar uchun

formula oriniidn, bu tormulaning o‘ng tomonidagi yig‘indi shartni qanoatlantiruvchi barcha manfiymas butun
sonlar uchun amalga oshiriladi.
Isbotlangan oxirgi tenglik ko‘phad formulasi yoki umumlashgan Nyuton binomi formulasi deb ataladi. sonlarni ko‘phad koeffitsientlar deb ataymiz.
binomial koeffitsient ko‘phad koeffitsientining m=2
bo‘lgandagi xususiy holidir. Haqiqatan ham, n₁+n₂=n tenglikda n₁= k deb olsak, u holda n₂=n-n₁=n-k va bo‘ladi.