I kirish II. Asosiy qism kombinatorik masalalar va tartiblangan to‘plamlar va o'rin almashishlar

3-teorema. n ta elementdan m tadan guruhlashlar soni eng kattasi n ga teng bolgan m ta ket-maket natural sonlar ko‘paytmasining dastlabki m ta natural sonlar ko‘paytmasiga nisbati kabidir:

4-misol. Qurilish tashkilotining duradgorlar bo‘limida 15 nafar ishchi bor. Ko‘p qavatli uyning eshiklarini ta'mirlash uchun 3 nafar duradgorni tanlash zarur. Agar bo‘limdagi har bir duradgor bu topshiriqni bajarishga layoqatli bo‘lsa, bunday tanlash imkoniyatlari (variantlari) qancha?
Bo‘limdagi liar bir duradgor ta'mirlash ishini bajarishga layoqatli bo‘lgani uchun, bu masalani hal qilishda guruhlashlar sonini topish formulasidan foydalanish mumkin. Bu yerda n=15, m=3 va . Demak, 15 nafar duradgorlar orasidan 3 nafarini tanlash imkoniyatlari soni 455 ekan.
Agar ta’rif sifatida qabul qilinsa, n ta elementdan m tadan guruhlashlar soni uchun yuqorida keltirilgan formula m=0 bo‘lgan holda ham to‘g‘ri bo‘ladi: Tabiiyki, n ta elementdan barcha elementlarni o‘z ichiga oladigan faqat bitta guruhlash tashkil etish mumkin: guruhlashlar sonini hisoblash uchun

ko‘rinishdagi formulalardan ham foydalanish mumkin.

4. TAKRORLI O‘RINLASHTIRISHLAR, O‘RINLASHTIRISHLAR VA GURUHLASHLAR

1. 
   Takrorli o‘rin almashtirishlar. Kombinatorikada oldin qaralgan birlashmalardan tashqari tarkibidagi elementlari takrorlanishi mumkin bo‘lgan boshqa birlashmalar ham o‘rganiladi. Masalan, takrorlanuvchi elementlar qatnashgan o‘rin almashtirishlar, o‘rinlashtirishlar va guruhlashlar.
   

Avval o‘rganilgan o‘rin almashtirishlar shunday tuzilmalar ediki, ular tarkibidagi elementlar bir-biridan farq qilardi. Endi o‘rin almashtirishlar tarkibidagi elementlar takrorlanishi mumkin bo‘lgan holni qaraymiz. Tabiiyki, aynan bir xil elementlar o‘rinlari almashtirilishi natijasida yangi o‘rin almashtirish hosil bo‘lmaydi. Shuning uchun tarkibidagi elementlari soni o‘zgarmaganda elementlari takrorlanishi mumkin bo‘lgan o‘rin almashtirishlar soni turli elementlardan tashkil topgan o‘rin almashtirishlar soniga qaraganda kichik bo‘ladi.
Faraz qilaylik, qandaydir kortejning n ta elementlari orasida bir xil (aynan bir xil) ta birinchi tur, bir xil ta ikkinchi tur, va hokazo, bir xil ta k - tur elementlar bo‘lsin, bu yerda - hech bo‘lmaganda bittasi l dan farqli natural sonlar. Bu n ta elementlarning o‘rinlarini imkoniyati boricha almashtirishlar natijasida hosil bo‘lgan kortejlar (kombinatsiyalar) takrorlanuvchi elementlar qatnashgan o‘rin almashtirishlar (qisqacha, takrorli o‘rin almashtirishlar) deb ataladi.
n ta elementlari orasida ta birinchi tur, ta ikkinchi tur va hokazo, n_k ta k- tur bir xil elementlar bo‘lgan takrorli o‘rin almashtirishlar sonini C_n(n_1,n₂, ... ,n_k) bilan belgilaymiz.