I kirish II. Asosiy qism kombinatorik masalalar va tartiblangan to‘plamlar va o'rin almashishlar

Isboti. Nyuton binomi formulasida b ni (-b) ga almashtirsak kerakli formulani hosil qilamiz.
1-misol. Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko‘paytirish formulalari kelib chiqadi:
n=2 bo‘lganda ayirmaning kvadrati formulasi

n=3 bo‘lganda ayirmaning kubi formulasi
ab³  a³ 3a²b3ab² b³.

3. Binomial koeffitsientlarning xossalari. Binomial koeffisiyentlarning ba’zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita Guruhlashlarga oid bo‘lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.
1-xossa. tenglik o‘rinlidir.
Haqiqatan ham,

Bu xossa binomial koeffisiyentlar qatoridagi istalgan ketma-ket ikki elementning biri ma’lum bo‘lsa, osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko‘rsatadi:

Bu yerda m=0,1,2,…,n-1.
2-xossa. Ixtiyoriy natural n son uchun barcha binomial
koeffitsientlar yig‘indisi ga teng, ya’ni

Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a=b=1 deb olganda hosil bo‘ladi. 3-xossa. Toq o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisi juft o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisiga teng.
Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida a=1 va b=-1 deb olganda

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to‘g‘ri ekanligi kelib chiqadi. 2- va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.
4-xossa. n natural sondan oshmaydigan eng katta toq m son uchun

tenglik hamda n sondan oshmaydigan eng katta juft m son uchun
tenglik o‘rinli.
5-xossa. Toq n son uchun

Juft n son uchun esa

munosabatlar o‘rinlidir.
Binomial koeffitsientlarning 5-xossasi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig‘i bo‘lib, unga ko‘ra binomial koeffitsientlar oldin
dan gacha o‘sadi, keyin esa 1 gacha kamayadi hamda n toq bo‘lganda binomial koeffitsientlar qatorining o‘rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo‘lganda uning o‘rtasidagi hadi eng katta va yagonadir.
Quyidagi 6-8-xossalar o‘rinlidir.