I. O’quv materiallari

6. Statsionar holatning barqarorlik va beqarorlik shartlari
Sistemaning g’alayondan so’ng o’z statsionar holatga qayta olish xossa­si - statsionar holat barqarorligi mezoni bo’lib ish beradi.
Sistemaning statsionar nuqta a atrofidagi chetlashishning  bilan ifodalasak, ya’ni a = a  , u holda  a = a statsionar nuqtada, f'(a) - funksiyaning hosilasi statsionar holat barqarorligining ba­holashda muhim rol o’ynaydi. Xususan, bir noma’lumli kinetik teng­lama holida, statsionar holat barqarorligi tenglama o’ng tomon ho­silasining ishorasiga qarab aniqlanadi.
f'a_(a) < 0 - bo’lganda, a nuqta barqaror,
f'a_(a) > 0 - bo’lganda, a nuqta beqaror,

bu yerda f'a_(a - a kattaligining a nuqtada olingan birinchi hosilasi. Agarda f'a_(a hosilani  - sistemaning dastlabki a nuqtadan chetlanishini esa ₀ bilan ifodalasak, A.M.Nyapunov qoidasiga bino­an,sistemaning t vaqtdan keyingi chetlanish  teng bo’ladi:

 = ₀  ye ^t
Ayоnki, agar  > 0 , u holda t   da (bu barqarorlik shartidir),   0, ya’ni a nuqta barqaror.  > 0 bo’lsa,   , demak a nuqta beqaror.
Birgina differensial tenglamadan iborat modelga resursla­ri cheklangan muhitdagi populyatsiya turlari sonini ifodalovchi Fer­xyunst logistik tenglamasi misol bo’ladi.
dN/dt = rN (K-N)/K
Uning yana bir boshqa shakli, dN/dt = rN(K-N)- mN
bu yerda N- populyatsiya turlarining t - vaqtdagi soni, r - urchish tez­lik konstantasi, m- o’lish konstantasi, K - turlarning mumkin bo’lgan maksimal soni.
Oldingi tenglamani (N=K orqali ifodalab) standart holatga kel­tirsak, u dx/dt = f(x) = rx (K-x)/K ko’rinishiga kelib, statsionar holatda f(x) = 0 u ikki ildizga ega bo’ladi, ya’ni x₁ = 0 va x₂ = K.
R.Mey logistik tenglamasining diskretlik holida ko’pgina yechimga ega bo’lishini namoyish etdi. 0< r <2 holida f(x) ning grafigi muvozanat­ga, 2< r <2,444 da esa ikki yillik davrga ega cheklovchi siklga yaqin­lashadi.
Biologik sistemalarga xos kinetik xossalardan biri bu para­metrlarning bir xil kattaliklarida, ham ularda bir necha statsionar holatlarning mavjudligidir. Sistemada ikki va undan ko’p barqaror va bitta beqaror statsionar holat mavjudligi, sistemaning bir barqaror statsionar holatdan boshqa bir barqaror statsionar holatga o’tishini, ya’ni uning triggernik xossasini shartlaydi.
Barqaror va beqaror statsionar shoxlarning kesishish nuqtasi bifurkasiya nuqtasi deb ataladi. Bifurkasiya nuqtalarida sistema sakrash yo’li bilan barqaror shoxga o’tishi mumkin.