I –Өзбетинше жумыс

Айырым элементар функциялардың Маклолрен қатиарына жайылыўы

Функция	Маклорен көпағзалығы		Қалдық ағза
Pn(x)	Pn(x)		0
(1+ x)^a,a¹ N	1+ax + 1)x2 +...+a(a-1)...(a- n +1)xn a(a- 2! n!		o(x^n)
sin x	x 3 x5 x2n+1 x - + +...+ (-1)n (2n +1)! 3! 5!		o(x2n+2)
cosx	1 - 2 + 4 +...+ (-1)n (22nn)! x x x 2! 4!		o(x2n+1)
arcsin x	x + 1 x3 + 1×3 x5 +...+ 2×3 2×4×5	x2n+1	o(x2n+2)
arctg x	x 3 x5 x2n+1 x - + -...(-1)^n 3 5 2n +1		o(x2n+2)
ex	x2 x3 xn 1+ x + + +...+ 2! 3! n!		o(x^n)
chx	x 2 x4 x2n 1+ + +...+ 2! 4! (2n)!		o(x2n+1)
sh x	x3 x5 x2n+1 x + + +...+ 3! 5! (2n +1)!		o(x2n+2)
ln(1+ x)	x 2 x3 xn x - + -...(-1)^n^-^1 2 3 n		o(x^n)

Funktsiyanın’ anıq emes integralı ha’m onı esaplaw usılları
Meyli f x( ) ha’m F x( ) funktsiyaları (a b, ) da berilgen bolıp, F x( ) tuwındıg’a iye bolsın.
Anıqlama. Eger
F¢(x) = f x( ) (xÎ(a b, ))
bolsa, onda (a b, ) da F x( ) funktsiya f x( ) funktsiyanın’ da’slepki funktsiyası delinedi.
Ma’selen,
f x( ) = x² (xÎ -¥ +¥( , ))
funktsiyanın’ da’slepki funktsiyası
F x( ) = ^x3 (xÎ -¥ +¥( , ))
3
boladı, sebebi
F¢( )x = ^æç ^x₃³=^ö÷ø¢ ¹₃ ×3x²= x²= f x( ). è
Eger (a b, ) da F x( ) funktsiya f x( ) tın’ da’slepki funktsiyası bolsa, onda
F x( ) +C
barliq da’slepki funktsiyalarının’ ko’pligi boladı, bunda C qa’legen turaqlı san.
Anıqlama. F x( ) +C an’latpası f x( ) funktsiyanın’ anıq emes integralı delinedi ha’m ò f x dx( ) dep belgilenedi:
ò f x dx( ) = F x( ) +C .
Anıq emes integraldın’ tiykarg’ı qa’siyetleri:

1. 
   (ò f x dx^{( )} )^¢ = f x( ).
   
2. 
   d(ò f x dx^{( )} ) = f x dx( ) .
   
3. 
   òéë f x( ) ± g x( )ùûdx =ò f x dx( ) ± òg x dx( ) .
   
4. 
   òkf x dx( ) = kò f x dx( ) .
   

Tiykarg’ı formulaları

1. 
   òdx = ò1×dx= x + C , bunda C= const.
   
2. 
   òx dxn = nxn++11 + C (n ¹ -1).
   
3. 
   ^{ò dx}_x = ln x +C .
   
4. 
   òa dx^x = ln^axa + C a( > 0,a ¹1).
   
5. 
   òe dx^x = e^x +C .
   
6. 
   òsin xdx = -cos x + C .
   
7. 
   òcos xdx = sin x + C .
   

dx

8. 
   ò 2 = arcsin x + C. 1- x dx
   
9. 
   ò 2 = arctgx + C. 1+ x
   

dx

10. 
    ò 2 = -ctg x + C . sin x
    

dx

11. 
    ò 2 = tg x +C. cos x
    
12. 
    òshxdx = chx +C . 13. òchxdx = shx +C .
    

dx 1 x
1 4. ò 2 ₂ = arctg +C.
Tabılg’an integraldın’ durıslılıg’ı tuwındı alıw jolı menen tekseriledi.
Endi to’mende integrallawdın’ a’piwayı usılların keltiremiz:

1. 
   İntegral astındag’ı funktsiyanı a’piwayı funktsiyalardın’ qosındısı ko’rinisinde jazıp, integraldın’ qa’siyetlerinen paydalanıw usılı;
   
2. 
   Differentsial belgisi astına kiritiw usılı. Ma’selen,
   

dx = ¹ d kx( + b), (k, b _=const); ^dx = d(ln x); cosxdx = d(sin x); k x
dx
² = d tgx( ), h.t.b. cos x
Mısallar. To’mendegi anıq emes integrallardı esaplan’:

1. 
   òx dx⁶ = ^x7 +C .
   

7

2. 
   òe dx^3x = ¹òe d³=^x (3 )x ¹e^3x +C .
   

3 3

3. 
   ò(10x⁷ + 2x⁵ - 7)dx =ò10x dx⁷ + ò 2x dx⁵ - ò7dx =
   

=10òx dx⁷ + 2òx dx⁵ - 7òdx =10× ^x8 + 2× ^x6 - 7x +C =⁵ x⁸ + ¹ x⁶ - 7x +C .
8 6 4 3
x⁴ - x³ + x +1 æ x⁴ x³ x 1 ö

4. 
   ò 5 dx = òç x5 - x5 + x5 + x5 ø÷dx = x è
   

= òæçè 1x - x12 + x14 + x15 öø÷dx = ò 1xdx - òx dx-2 + òx dx-4 + òx dx-5 =
x- +2 1 x- +4 1 x- +5 1 1 1 1
= ln x - + + + C ln = +x - ₃ - ₄ + C .
- +2 1 - +4 1 - +5 1 x 3x 4x
1 1 ¹+ +1 1

5. 
   ò x xdxⁿ = òx x dx× ⁿ òxⁿ⁺¹dx= ^xn +=C ⁿ x²=ⁿ x +C .
   

1 + +1 1 2n +1 n

Integrallaw usılları

1. O‘zgeriwshini almastırıp integrallaw usılı Bul usıl to’mendegishe a’melge asırıladı:
x =j(t) dep alayıq, bunda j(t) funktsiya u’zliksiz j¢(t) tuwındıg’a iye. Onda o’zgeriwshini almastırıw formulası to’mendegishe boladı: ò f x dx( ) = ò f (j j(t))× ¢(t dt)
Mısallar 1. ò(2 +3x)¹⁰⁰dx integraldı esaplan’.
Sheshiliwi. Bunın’ ushın 2 + =3x t almashtırıwın orınlaymız. Onda
x = ^{t - 2}, dx = ¹dt
3 3
b olıp, ò(2 + 3x)100dx= òt100 × 13 dt =31 òt100dt= 13 101× t101 +C 3031= (2 + 3x)101 +C boladı.

2. 
   _{ò a}^dx_{- x}2 (a > 0) integraldı esaplan’.
   

Sheshiliwi. Bul integralda x = a t× dep alamız. Onda dx = a dt× bolıp, ò adx- x2 = ò aa dt-×at2 = ò a(a dt1×-=t2 ) ò 1dt-=t2 arcsint + C arcsin=xa +C
boladı.

2. 
   ^ò _x2²₊^{x +}_x¹₊₁dx integraldı esaplan’.
   

Sheshiliwi. Bul integralda x² + x + =1 t almashtırıwın orınlaymız. Onda
d x( ² + x +1) = dt,
(2x +1)dx = dt .
ò x22+x +x 1+1dx = ò(x22x+=+x1)+dx1 = ò dtt ln | t | +C
bolıp,
ò x2²+^{x +}x¹+1dx = ln x² + x +1 + C
boladı.

2. 
   _{ò x}^dx2 _{+ a} integraldı esaplan’.
   

Sheshiliwi. Bul integralda
^{x 2} + a + x = t
dep alamız. Bul ten’liktin’ ha’r eki ta’repinin’ differensialların tabamız.
d ( x² + a + x) = dt ,

¢^{x 2} + a + x) ×dx = dt ,

æ 1 ö
ç 2 ×2x +1÷dx = dt, è 2 x + a ø
æ x ö x + x² + a ç 2 +1÷dx = dt^, 2 dx = dt . è x + a ø x + a
Keyingi ten’likten
dx dt dt
= =
x² + a x² + a + x t
bolıp,
dx dt ₂
ò 2 = ò = ln | t | +C =ln x + a + x +C x + a t
boladı.
2. Bo‘leklep integrallaw usılı
Meyli u = u x( ) ha’m v = v x( ) funktsiyalar u’zliksiz u¢ ha’m v¢ tuwındılarg’a iye bolsın. Onda bo’leklep integrallaw formulası to’mendegishe boladı: òudv = uv - òvdu .
Mısallar. 1. İntegraldı esaplan’.
òxe dx^x .
Sheshiliwi. Bul integralda
u = x, dv = e dx^x
dep,
du = dx, v= òe dx^x = e^x
bolıwın tabamız. Bo‘lekleb integrallaw formulası boyınsha
òxe dx^x = xe^x - òe dx^x
boladı. Demek
òxe dx^x = xe^x - e^x +C = e^x (x -1) +C .

2. 
   İntegraldı esaplan’.
   

òln xdx.
Sheshiliwi. Bul integralda
u = ln ,x dv = dx
dep alınsa, onda
du = ¹ dx v, = x x
boladı. Bo’leklep integrallaw formulası boyınsha:
òln xdx = xln x - òx× ¹_xdx =xln x - x +C .

2. 
   òxsin xdx integraldı esaplan’.
   

Sheshiliwi. Bul integralda
u = x dv, = sin xdx
dep alamız, onda
du = = =dx, v òsin xdx -cos x
boladı. Bo’leklep integrallaw formulasın paydalanıp: òxsin xdx = x× -( cos x) - ò(-cos x)×dx -=xcos x + sin x + C .

2. 
   òarctg xdx integraldı esaplan’.
   

Sheshiliwi. Bul integralda
u = arctg ,x dv = dx
dep alsaq, onda
du = dx, v = x
b oladı, òarctg xdx = x×arctg x - òx×₁ +¹_x2 dx x×=arctgx - ₂¹ _ò ^d₁(¹++_x^x₂² ) =
= x×arctgx - ln 1( + x²)+ C
bo‘ladi.

2. 
   _{J n} = ^ò( ^dx 2)n= (n 1,2,3,... ,) a ¹ 0 integraldı esaplan’.
   

x² + a
Sheshiliwi. n =1 bolg’anda
1
J 1 ⁼ ò 2dx 2 ⁼ _ò dx⁼ 2 1 ò= a ^dx 2 1 arctg x +C x + a a₂ éêëê1+æçè _ax öø ùúúû a 1+ æç ax ö÷ø a a
÷ è
boladı.
Endi berilgen integralda

21. 
    = , dv = dx x2 + a2
    

dep tabamız:
du = =d æçè x2 +1 a2 ö÷øn d((x2 + =a2 )-n ) -n x( 2 + a2 )- -n 1 × =2xdx -(x2 +2nxa2 )n+1 dx,

21. 
    = x.
    

Bo‘leklep integrallaw formulasına ko‘re
_{J n} ⁼ ( 2 ¹ 2)n × x + 2n xò ^× ( 2 ^x 2)n₊₁ dx (1) x + a x + a
boladı. Bul ten’liktin’ on’ ta’repindegi integraldı to’mendegishe jazıp alamız: x2 x2 + a2 - a2 x2 + a2 a2
dx = dx= dx - dx =
ò( 2 2)n+1 ò ( 2 2)n+1 ò( 2 2)n+1 ò( 2 2)n+1
x + a x + a x + a x + a
^{= ò}( 2 ^dx 2)n - a²ò⁼( 2 ^dx2)n₊₁ J_n - a J² _n+1. (2) x + a x + a
(1) ha’m (2)- qatnaslardan
x ²
_{J n} ⁼ n + 2n J× _n - 2na × J_n+1 (x² + a2)
tabamız.
Keyingi ten’likten bolsa
_{J n+1} = ¹ ₂ × ( 2 ^x 2)n + ^{2n -1}× ¹₂ J_n (3) 2na x + a 2n a
bolıwı kelip shıg’adı.
A’dette, (3) ten’lik rekurrent formula delinedi. Ma’lim bolg’anınday,
J₁ = ¹ arctg ^x + C . a a
(3) formula ha’m J₁ din’ ma’nisinen paydalanıp,
J 2 = ^ò( 2 dx 2=)2 1 × 2 x 2 + 12 × 1 arctg x +C x + a 2a x + a 2 a a
bolıwın tabamız. (3) formula ha’m J₂ nin’ ma’nisinen paydalanıp J₃ tabıldı ha’m t.b.