I –Өзбетинше жумыс

МАТЕМАТЫКАЛЫҚ АНАЛИЗГЕ КИРИСИЎ
1.Элементар функция
Анықлама: Егер x өзгериўшисиниң қандайда бир D коплигинен алынған ҳəр бир мəнисине қандайда бир E коплигинен алынған y өзхгериўшисиниң бирден – бир анық маъниси сайкес қойылған болса онда y өзгерыўшиси x өзгерыўшисиң функциясы делинеди ҳəм
y = f (x) , y =y(x) , y =j(x) түринде белгиленеди.

24. 
    өзгерыўшисиның f (x) функциясы мəниске ийе болатуғын
    

мəнислери көплиги функцияның анықланыў областы делинеди. Ол D( f ) коринисинде белгиленеди. Дара жағдайда x = x₀ y₀ = f (x₀)y _x=x0 = y₀ .
Функция қабыл ететуғын мəнислери көплиги оның өзгериў областы деп аталады ҳəм ол E( f ) коринисинде белгиленеди .
Егер у = f (x) функциясы D( f ) областын E( f ) областына оз ара бир мəнисли саўлелендирсе , онда x ты y арқалы бир мəнисли аңлатыў мумкин:

24. 
    =j(y).
    

Пайда болған функция у = f (x) функциясына кери функция деп аталади. у = f (x) ҳəм x =j(y) функциялары оз ара кери функциялар болады.
Адетте, кери x =j(y) функциясы x ҳəм y тың орынларын алмастырыў нəтийжесинде стандарт коринисте жазылады.

24. 
    =j(x)
    

Егер f (-x) = - f (x) ямаса f (-x) = f (x) теңликлер орынлы болса, онда f (x) функциясы сайкес турде тақ ямаса жуп функция деп аталади кери
жағдайда функция жуп ҳəм емес тақ ҳəм емес болады.
Егер T > 0 турақлы саны бар болып, ҳəр бир x Î D( f ) ҳəм (x +T)Î D( f ) ушын f (x +T) = f (x) теңлиги оррынлы болса, онда f (x) функциясы T периодли функция делинеди.
Төмендеги функциялар тыйқарғы элементар функциялар деп аталады.
a) y = x^a дəрежели функция, бунда a Î R ; анықланыў областы
D( f ) ҳəм мəнислер областы E( f ) a ға байланыслы болады.
б) y = a^x корсеткичли функциясы, бунда a > 0, a ¹ 1, D( f ) = R,
E( f ) = (0,+¥) .
в) y = log_a x логарифмлық функция ,бунда a > 0 , a ¹ 1, D( f ) = (0,+¥),
E( f ) = R.
г) Тригонометриялық функциялар:

24. 
    = cosx, D( f ) = R , E( f ) = [-1;-1], T₀ = 2p, y = sin x, D( f ) = R , E( f ) = [-1;-1], T₀ = 2^p_,
    

y = tgx, D( f ) = ^ìíx ¹ ^p+pk; k Î Z , ý^ü E( f ) = R , T₌ =p. î 2 þ
у = f (x) функциясы базы-бир кесиндиде өсиўши (кемиўши) деп аталады, егер усы кесиндиге тийисли болған x₁ < x₂ теңсизлигин қанаатландыўшы қəлеген x₁, x₂ точкалары ушын, f (x₁) < f (x₂) (f (x₁) > f (x₂)) теңсизлиги орынлы болса.
Егер f (x) функциясы [a;b] кесиндисинде үзликсиз ҳəм қəлеген a< x<b точкасында f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0) теңсизлигин қанаатландырса, онда
усы аралықта функция өсиўши (кемейиўши) болады.
Егер х₀ точкасының сондай дөгереги бар болып, қəлеген x ¹ x₀точкасы ушын усы дөгеректе f (x) > f (x₀) теңсизлиги орынлы болса, онда x₀ точкасы y = f (x) функциясының минимум точкасы, ал f (x₀) саны- y = f (x) функциясының минимумы деп аталады.
Егер х₁ точкасының сондай дөгереги бар болып, қəлеген x ¹ x₁точкасы ушын усы дөгеректе f (x) < f (x₁) теңсизлиги орынлы болса, онда x₁ точкасы y = f (x) функциясының максимум точкасы, ал f (x₁) саны y = f (x) функциясының минимумы деп аталады.
Максимум ҳəм минимум точкалары функцияның экстремум точкалары, ал функцияның максимумы ҳəм минимумы функцияның экстремумы деп аталады.
Егер x₀ точкасы f (x) функциясының экстремум точкасы болса, онда
f ¢(x₀) = 0 болады.
Бул шəрт экстремумның бар болыўының зəрүрли шəрти деп аталады. Улыўма алғанда бул тастыйықлаўға кери болған тастыйықлаў орынлы емес:
f ¢(x₀) = 0шəрти орынлы болатуғын x_o точкасы функцияның экстремум точкасы бола бермейди.
2.Избе-изликтиң шеги. Функция шеги.
Анықлама: Натурал санлар көплигинде анықланған функция санлы избе-излик делинеди ҳəм {x_n } коринисте белгиленеди.
Егер, сондай M оң саны бар болып, ҳəр қандай n натурал саны ушын
_{x n} £ M
теңсызлиги орынлы болса {x_n } шеғараланған избе-излик деп аталады. x_n+1 > x_n теңсизлиги орынлы болса, {x_n } осыўшы избе-излик деп аталады. Кери жағдайда x_n+1 > x_n болса, кемейыўшы избе-излик деп аталады.
Осыўшы ямаса кемейиўши избе-излик монотон избе-излик деп аталады.
Егер "e> 0 саны ушын сондай N = N(e) > 0 саны бар болып, барлық n ³ N лер ушын x_n - a a саны
{x_n } избе-излигиниң шеги деп аталады. Ҳəм limx_n = a турынде
n®µ
белгиленеди.
Егер {x_n } избе-излиги шекли шекке ийе болса, ол жыйнақлы болады, кери жағдайда таралыўшы избе-излик деп аталады.
Хəр қандай избе – излик шеғараланған ҳəм монотон болса, онда ол шекли шекке ийе болады .
А нықлама: Егер ҳəр қандай e> 0 саны ушын сондай d =d(e) > 0 саны бар болып, x -a x ларда f (x) -b b саны f (x) функциясының x ® a дағы шеги деп аталады ҳəм lim f (x) = b туринде жазылады.
x®a
f (x) функциясының a точкасындағы шеп ҳəм оң шеклери деп, сайкес
турде
f (a - 0) = lim f (x) f (a + 0) = lim f (x)
x®a-0 x®a+0
санларына айтылады .
f (x) функциясының x ® a дағы шеги бар болыўы ушын f (a -0) = f (a + 0)
болыўы зəрур ҳəм жеткиликли.
Шеклердың қасийетлери:
1)limC = C ,
x®a
²⁾lim( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± limg(x),
x®a x®a x®a

3. 
   lim( f (x)× g(x)) = lim f (x)×limg(x),
   

x®a x®a x®a

3. 
   lim( f (x) \ g(x)) = lim f (x) \ limg(x), g(x) ¹ 0 .
   

x®a x®a x®a
Бул шəртлер орынланса , онда ⁰ , ^¥ ,0×¥ коринисиндеги аңық
0 ¥
емесликлер пайда болыўы мумкин. Бул аңық емесликлер айырым жағдайларда алгебралық алмастырыўлар жəрдеминде ашылады.
Копшилик шеклерди табыўда төмендеги белгили формулалардан пайдаланылады: _lima®0 ^sin_a^a = 1 –биринши əжайып шек;
1
^limx (1+ ¹_x)^x =^lima®0 (1+ a)^a = e – екинши əжайып шек; ®µ
3. Туўынды ҳəм дифференциал.
y = f (x) функциясының x₀ точкасындағы өсими Dy тың аргумент өсими Dx ға қатнасының Dx нольге ымтылғанда шекли шеги бар болса, бул шек y = f (x) функцияның x₀ точкасындағы тыўындысы делинеди ҳəм
т өмендегише белгиленеди: y^' , f ^'(x) , ^dy , ^df
dx dx
Я ғный f '(x0 ) = limDDyx = limDx®0 f (x0 + DDxx) - f (x0 ) турынде болады.
Dx®0
Туўындылар таблыцасы:

	Функция	Тууындысы	Функция	Тууындысы
1.	y = c	y¢ = 0
2.	y = x^n y = x	y¢ = nxn-1 y¢ = 1 2 x	y = x y = 1 x	y¢ =1 y¢ = - ^12 x
3.	y = a^x	y¢ = a^xln a	y = e^x	y¢ = e^x
4.	y = loga x	y¢ = 1 xln a	y = ln x	y¢ = 1 x
5.	y = sin x y = tgx	y¢ = cosx y¢ = 12 cos x	y = cosx y = ctgx	y¢ = -sin x y¢ = - ^12 sin x
6.	y = arcsin x y = arctgx	y¢ = y¢ =	y = arccosx y = arcctgx	y ¢ = - ^1 y¢ = -
7.	y = shx y = thx	y¢ = chx y¢ = 12 ch x	y = chx y = cthx	y¢ = shx y¢ = - ^12 sh x

Анық емесликлерди ашыўдың Лопиталь қағыйдасы ( ⁰ ,^¥
0 ¥
туриндеги) f (x) ҳəм j(x) функциялары x₀ точкасының қандайда бир дөгерегинде ( x₀ точкасының өзыннен тысқары) дифференциалланыўшы ҳəм j^'(x) ¹ 0 болсын.
^Егер lim f (x) =limj(x) = 0 lim f (x) =limj(x) =¥ болып ,
x®x₀ x®x₀ x®x₀ x®x₀
f ^'(x) f (x) f ^'(x) ^lim0 _j '_(x) бар болса , онда ^limx®x0 _{j (x)} =^limx®x0 _j '_(x) болады . x®x
y = f (x) функциясының x₀ точкасындағы қандайда бир дөгерегинде (п +1)-тəртыпке шекемги туўындыларына ийе болса, бул дөгеректиң ҳəр қəндай х точкасы ушын
f (x) » f (x0 ) + f ¢(x0 ) (x - x0 ) + f ¢¢(x0 ) (x - x0 )2 +... + f n(x0 ) (x - x0 )n
1! 2! n!
п-тəтыпли Тейлор формуласы орынлы.
Дара жағдайда егер x₀ = 0 болса, онда жоқарыдағы Тейлор формуласы
f ¢(0) f ¢¢(0) ^{2 f n(0)}
f (x) » f (0) + x + x +... + xⁿ
1! 2! n!
п-тəтыпли Маклорен формуласына ийе боламыз.