I –Өзбетинше жумыс

t² -^{1 4t}

x = ₂ , dx = 2 )2 dt
t +1 (t +1
bolıp,
1 + x dx t dt² ò × = 2ò ²
1- x 1- x t +1
boladı. Bizde
t dt²
= -t arctgt + C
òt2 +1
bolg’anlıqtan,
1+ x dx æ 1+ x 1+ x ö
ò × 2ç = - arctg ÷ + C .
1- x 1- x è 1- x 1- x ø
IV. Meyli f x( ) funktsiya x ha’m ax² +bx + c (a b c, , – turaqlı sanlar) u’stinde arifmetikalıq a’meller orınlanıwınan payda bolsın.
Ma’selen,
f x( ) = 2 ¹ , f x( ) = x² +2 x +1 -1, _{f x}( ) = ( 2 )^x 2 . x + 6x + 5 x x + x +1 2x +1 x + 4
Bunday funktsiyalardı integrallawda:

1. 
   a > 0 bolg’anda
   

^{a x2} +bx + c - x a = t
almastırıwı menen,

2. 
   c > 0 bolg’anda
   

ax² +bx + c =xt + c
almastırıwı menen,
s) ax² +bx + c kvadrat u’shag’zalısı haqıyqıy a ha’m b korenlerge iye bolg’anda
ax² +bx + c t x=( -a)
almastırıw menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keltiriledi. dx
M ısallar 1. ò integraldı esaplan’. x² + 6x + 5
Sheshiliwi. Bul integralda
^{x 2} + 6x + 5 - x = t
almastırıwın orınlaymız (sebebi, a = >1 0).
Onda
^{x 2} + 6x +5 - x = t, x² + 6x + 5 = x +t , x² + 6x +5 x= +² 2xt + t² ,
(6 - 2t x)= t² - 5,
t² - 5 x = ,
6 - 2t
æ t² -5 ^ö¢ -t² + 6t -5 ₂ -t² + 6t -5
d x = ç ₆- _2t ÷ø ×dt= 2 (₆- _2t2) dt, x + 6x +5 = ₆ - _2t è
bolıp,
dx 6 - 2t -t² + 6t - 5 2dt
ò 2 = ò 2 × 2 ₍ =₂) dt ò=
x + 6x + 5 -t + 6t - 5 6 - 2t 6 - 2t
= - =ò d(3 -t) -ln 3 - t + C 3 -t
boladı.
Demek,
_{d x2}
= -ln 3+ x - x + 6x + 5 +C .

2. 
   ò integraldı esaplan’.
   

Sheshiliwi. Bul integralda
- x² - 3x + 4 =xt + 2
almastırıwın orınlaymız (sebebi, c = >4 0). Onda
- x² -3x + 4 =xt + 2, - x² -3x + 4 =x t^{2 2} + 4xt + 4,
- - =x 3 xt² + =4t, x - ,
dx = 22t2 +3t -2 2dt, -x2 -3x + =4 - 2t2 +2 3t - 2
(t2 +1) t +1
bolıp,
ò -x2 dx-3x + 4 = ^òèçæ- 2t2t+² +3t1- 2ø÷ö×22t(²t2++31t)-2 2 dt =
= - =2^ò t2^dt+1 -2arctgt + =C -2arctg ^{-x2 -3}x^{x + 4 - 2} + C
boladı.

2. 
   _{ò -x}2 ^dx_{+ 4x - 3} integraldı esaplan’.
   

Sheshiliwi. Bunda,
-x² + 4x - 3 (=-x 1)(3 - x).
Demek, -x² + 4x -3 kvadrat u’shag’zalısı a b= =1, -3 haqıyqıy korengn iye.
Usılardı esapqa alg’an halda berilgen integralda
- x² + 4x - 3 =(x -1)t
almastırıwın orınlaymız. Onda
- x² + 4x -3 = (x -1)(3- x) = (x -1)t ,
(x -1)(3- x) =(x -1)² ×t², 3- x =(x -1)t², (t² +1)x= t² + 3,
x = t22=+ 3=æçt 3 - x ö÷, dx - 24t dt, -x2 + 4x - 3 = 22t
t +1 è x -1 ø t +1 t +1
bolıp,
ò -x2 ^dx+ 4x -3 = ^òt2 t⁺¹× -^æçè t=₂⁴+^t 1^ö÷ødt - =^ò1+^dtt2 -2arctgt + =C -2arctg ³x^--1^x + C
boladı.

Anıq integral ha’m onı esaplaw usılları

Meyli _{f x}( ) funktsiya [a b_, ] segmentte u’zluksiz bols_ın. [a b_, ] kesindisinen
a = x₀ <x₁ <x₂ <... <x_k <x_k+1 <... <x_n = b
noqatların alıp, ten’dey n bo’lekke bo’lemiz:
Dx₀ =x₁ - x₀, Dx₁ =x₂ - x₁, Dx_k =x_k+1 - x_k,...,Dx_n-1= xn - xn-1.
Bulardın’ en’ u’lkenin l menen belgileyik:
l= max{Dx_k} (k= 0,1,2,...,n -1).
^{Ha’r bir} [x x_k, _k+1] den qa’legen x_k noqatın (x_k Î[x x_k, _k+1], k= 0,1,2,...,n -1) alıp, funktsiyanın’ usı noqattag’ı ma’nisi f (x_k ) tı tabamız.
To’mendegi s x= f ( ₀)×Dx₀ + f (x₁)×Dx₁ +...+ f (x_k )×Dx_k +...+ f (x_n-1)×Dx_n-1
qosındı f x( ) funktsiyanın’ integral qosındısı delinedi. Onı qısqasha
n-1
å f (x_k )×Dx_k
k=0
belgileymiz.
Bul integral qosındı l®0 da shekli limitke iye bolsa, onda bul limit f x( ) funktsiyasınan a dan b g’a shekem alıng’an anıq integralı dep ataladı:
b n-1
ò f x dx( ) = liml®0 å f (x_k )Dx_k ,
a k=0
bunda f x( ) funktsiya [a b, ] da integrallanıwshı, a sanı integraldın’ to’mengi shegarası, b sanı bolsa joqarg’ı shegarası, [a b, ] segmenti integrallaw aralıg‘ı delinedi.

Anıq integraldın’ qa’siyetleri

1. 
   Turaqlı sandı integral belgisi aldına shıg’arıw mu’mkin:
   

b b òkf x dx( ) = kò f x dx( ) (k = const).
a a

2. 
   Qosindinin’ integralı integrallardın’ qosındısına ten’:
   

b b b ò^é_ë f x( ) + g x( )^ù_ûdx ⁼ò f x dx( ) ⁺ òg x dx( ) .
a a a

3. 
   Eger [a b, ] da u’zliksiz bolg’an f x( ) ha’m g x( ) funktsiyalar ushın qa’legen xÎ[a b, ] te
   

f x( ) £ g x( )
bolsa, onda
b b
ò f x dx( ) £ òg x dx( )
a a
boladı.

4. 
   Eger f x( ) funktsiya [a b, ] da integrallanıwshı bolsa, funktsiya [ab, ]Ì[a b, ] aralıqtada integrallanıwshı boladı. 5) To’mendegi
   

b b
ò f x dx( ) £ ò f x dx( )
a a
ten’sizligi orınlı.
6) To’mendegi
_ò^b f x dx( ) = _ò^c f x dx( ) + _ò^b f x dx( )
a a c
ten’lik orınlı boladı.

Anıq integraldı esaplaw

1. Nyuton–Leybnits formulası
Meyli f x( ) funktsiyanın’ da’slepki funktsiyası F(x) bolsın. Onda
Nyuton–Leybnits formulası
_ò^b f x dx( ) = F( )=x ^b_aF( )b -F( )a (1)
a
bo‘ladı.
Mısallar. To’mendegi keltirilgen anıq integrallar N'yuton-Leybnits formulası ja’rdeminde esaplanadı:

1. 
   ò2 x dx9 = x10= -110= 1 (1024-1) =102,3;
   
   1. 
      1010 10
      
2. 
   ^{ò 1} e dx^-x = - =e -e^-1 - - =( e⁰ ) - ¹ + =1 1- ¹ ;
   

₀e e
b

3. 
   òcosxdx = sin x =^b_asinb -sina;
   

a

1. 
   1¹p 4) ò 2 dx = arctgx ⁼₀arctg1-arctg0 = .
   

₀ 1+ x4
2. O‘zgeriwshilerdi almastırıw usılı menen anıq integrallardı esaplaw Ko‘pshilik jag’daylarda
òb f x dx( )
a
integraldı
x =j(t)
almastırıw ja’rdeminde esaplaw qolaylı boladı.
Meyli f x( ) ha’m x =j(t) funktsiyalar to’mendegi sha’rtlerdi orınlasın:

1. 
   f x( ) funktsiya [a b, ] segmentke u’zliksiz;
   
2. 
   x =j(t) funktsiya [ab, ] da u’zliksiz, u’zliksiz j¢(t) tuwındıg’a iye
   

bolıp, onın’ ma’nisleri [a b, ] nı payda etsin;

3. 
   ja jb( ) = a, ( ) = b
   

Onda
b b
ò f x dx( ) = ò f (j j( )t )× ¢( )t dt (2)
a a
boladı.
Mısallar 1. İntegraldı esaplan’
1
òx 1+ x dx² .
0
Sheshiliwi. Bul integralda
x = t² -1
almashtırıwın orınlaymız. Onda x = 0 bolg’anda t =1,
x =1 bolg’anda t = 2 ,
dx =t² -1)¢dt = ^tdt2
t -1

bolıp, (2) formula boyınshaboladı.

2. 
   İntegraldı esaplan’
   

^e dx ò
1 x(1+ ln² x)
Sheshiliwi. Bul integralda
ln x =t
dep alamız. Onda x =1 bolg’anda t = 0, x = e bolg’anda t =1,
1 dx = dt x
bolıp,
e dx 1 dt1p ò ( ² ) = ò ² =arctgt ⁰=
1 x 1+ ln x 01+t4
boladı.
3.Bo‘leklep integrallaw usılı menen anıq integrallardı esaplaw.
Meyli u = u x( ) ha’m v = v x( ) funktsiyalar [a b, ] segmentte u’zliksiz ha’m u’zliksiz u x¢( ) ha’m v x¢( ) tuwındılarg’a iye bolsın. Onda to’mendegi bo’leklep integrallaw formulasına iye bolamız:
_ò^b u x v x dx( ) ( )¢ = é_ëu x v x( ) ( )ù_û ^ba- _ò^b v x u x dx( ) ( )¢ . (3)
a a

2. 
   ten’likti to’mendegishe jazıw mu’mkin:
   

_ò^b udv = (uv) ^ba- _ò^b vdu. (3’)
a a
Mısallar 1. İntegraldı esaplan’
2
òxe dx^x .
1
Sheshiliwi. Bul integralda
u = x, dv = e dx^x
dep alamız. Onda
dv = dx, v= òe dx^x = e^x

bolıp, (3’) formula boyınsha
2 2 òxe dx^x= x e× ^x^2- òe dx=^x 1 1 1 boladı. 2. İntegraldı esaplan’	x e× x2 -ex=2 11	2e^2- e -(e^2- e) = e^2

1
òarctgxdx.
0
Sheshiliwi. Bul integralda
u = arctg ,x dv = dx
dep alıp,
du = dx, v = x
bolıwın tabamız. Onda (3’) formula boyınsha
1 ¹ 1 ^xdx p 1 1 d(1+ x2) p
òarctgxdx = x×arctgx₀ - ^ò = 2 - ^ò= 2 -ln 2
0 01+ x 4 2 0 1+ x 4
boladı.