Ii bob. Integral tenglamalar haqidagi asosiy tushunchalar

2. Ikki argumentli funksiya uchun Fredgolm tenglamalarini yechish
Noma’lum funksiya ikki argument bo’lganda ham Fredgolm tenglamalarini ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechish mumkin.
Faraz qilaylik,

Tenglama berilgan bo’lsin. Bu tenglama uchun ham oldingi paragrafdagi teoremani isbot qilish mumkin. O’sha mulohazalarni bu hol uchun takrorlamay, misol yech bilangina chegaralanamiz. (11) tipdagi integral tenglamalarning yechimini ushbu

qator ko’rinishida izlaymiz.
Misol uchun,

tenglam berilgan bo’lsin.
(12) qatorni bu tenglamaning yechimi deb faraz qilamiz va uni berilgan tenglamaga qo’yib ushbu ayniyatni hosil qilamiz:



Qavslarni ochib so’ngra tenglikning ikki tomonidagi bir xil darajali larning koeffitsientlarini o’zaro tenglab, larning ifodasini birin-ketin aniqlaymiz. Bu jarayon quyidagicha bajariladi:



Bu integralni hisoblash natijasida

hosil bo’ladi, xuddi shuningdek


yoki integrallarni hisoblab chiqsak,

buning yordamida ni aniqlaymiz:


yoki integrallarni hisoblash natijasida,

kelib chiqadi. Umumiy qonuniyat ko’rinib qolgani uchun larni izlashni to’xtatamiz va ularning umumiy ifodasini yozamiz:

Mana shu ifodalarni (12) qatorga qo’yamiz

Agar bo’lsa, qatorning yig’indisini toppish uchun

formuladan foydalanamiz. Natijada quyidagi yechim kelib chiqadi:


7-8-Ma’ruza

Mavzu: Volterra 2-tur integral tenglamasini ketma-ket yaqinlashish usulida yechi
1. Bir argumentli funksiya uchun Volterra tenglamalarini yechish
Volterraning ikkinchi tur ildizlarini ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechish mumkin. Faraz qilaylik, quyidagilar berilgan bo’lsin:

haqiqiy va kesmada uzluksiz,
haqiqiy va sohada uzluksiz,
parameter (o’zgarmas son).
Berilgan (10) tenglamaning yechimini ushbu

funksional qator ko’rinishida izlaymiz. Noma’lum funksiyalarni topish maqsadida (14) ni (13) tenglamaga qo’yamiz, u holda ushbu ayniyat hosil bo’ladi:




Bu ayniyatning ikki tomonidagi bir xil darajali larning koeffitsientlarini tenglab quyidagi





munosabatlarni olamiz. Bundagi ma’lum bo’lgani uchun boshqa lar (15) dan ketma-ket kelib chiqaveradi. So’ngra ularni (14) ga qo’yilsa, izlanayotgan yechim kelib chiqadi.
Endi (14) qatorning kesmada absolyut va tekis yaqinlashishini ko’rsatamiz. Uning uchun, biror musbat hadli yaqinlashuvchi qatorning hadlari bilan (14) qatorning mos hadlarini solishtirib ko’rish kerak. Yuqorida berilgan b) va a) shartlarga ko’ra

bo’lgani sababli, quyidagi tengsizliklarni yoza olamiz:


chunki


va hokazo, shu xilda davom etilsa

Endi tengsizliklarning o’ng tomonidagi hadlarga asoslanib quyidagi musbat hadli qatorni tuzib olaylik:


Bu qatorni yaqinlashuvchi ekanini Dalamber alomati yordamida ko’rsatish mumkin:

bundan

Demak, (16) yaqinlashuvchi ekan. Shu sababli yuqoridagi tengsizliklarga asosan (14) qator sohada absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Shunday qilib absolyut va tekis yaqinlashuvchi (14) qator berilgan (13) Volterra tenglamasining yechimidir. Bundan boshqa yechimi yo’q ekanini isbot qilish oldingi paragrafdagiga o’xshash bo’lganligi sababli uni takrorlaymiz.
Aniq tenglamalarni yechishda (15) munosabatlarga asoslanib larni topish va ularning ifodalarini (14) qatorga qo’yib chiqish kifoya.
1-misol.Ushbu tenglamani yeching:

bunda
va
Endi (15) munosabatlardagi hadlarni hisoblab chiqamiz:




va hokazo. Bu ifodalarning hosil bo’lishidagi qonuniyat ko’rinib turibdi. Ularni (14) qatoga qo’ysak izlanayotgan yechim hosil bo’ladi:

2-misol.Ushbu tenglamani yeching:

(15) munosabatlarga asosan




va hokazo. Bulardagi o’rniga

Qatorni qo’yamiz, so’ng larning ifodasini (14) qatorga qo’yib, uni soddalashtirsak,


kelib chiqadi.
Mashqlar
Quyidagi Volterra tenglamalari ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechilsin: