Ii bob. Integral tenglamalar haqidagi asosiy tushunchalar

5-6-Ma’ruza

Mavzu: Fredgolm2-tur integral tenglamasini ketma-ket yaqinlashish usulida yechi
1. Bir argumentli funksiya uchun Fredgolm tenglamalarini yechish
Fredgolmning ikkinchi tur tenglamalarini yana bir usul bilan yechish mumkin. Bu usul ketma-ket yaqinlashish usuli yoki funksional qator yordami bilan yechish usulidir.
Shunday qilib, ushbu

tenglama berilgan bo’lib, bu yerda ozod had kesmada noldan farqli uzluksiz funksiya; yadro ( ) sohada noldan farqli uzluksiz funksiya; lar esa o’zgarmas haqiqiy sonlar deb faraz qilinadi .
Berilgan (1) tenglamaning yechimini quyidagi qator shaklida izlaymiz:



Biz (2) funksional qatorni biror intervalda tekis yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz, shu sababli uni hadlab integrallash mumkin.Bu ayniyatning ikki tomonidagi bir xil darajali larning koeffitsientlari teng bo’ladi, yani





Endi bu ifodalarni yuqoridan boshlab birin-ketin o’zidan keyingisiga qo’yib chiqamiz, natijada quyidagi ifodalar hosil bo’ladi:





Mana ifodalar yordamida (2) qatorni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.

Bu cheksiz qatorni umumiy hadi

bo’ladi. Yuqorida ko’rsatigan shartlarga ko’ra, kesmada

hamda sohada

Bu yerda va o’zgarmas haqiqiy sonlardir. Shunga asosan (5) dan ushbu

tengsizlik hosil bo’ladi. Ma’lumki, o’ng tomondagi ifoda cheksiz kamayuvchi geometric progressiyaning, ya’ni yaqinlashuvchi qatorning umumiy hadi bo’lishi uchun

bo’lishi shart. Shundagina (4) qator intervada absolyut va tekis yaqinlashuvchi qator bo’ladi.
Biz hozircha (4) qator (1) tenglamaning yechimi ekanligini ko’rsatdik. Endi undan boshqa yechimi yo’qligini ko’rsatamiz. Buning uchun aksincha faraz qilamiz, ya’ni (1) tenglamaning yana bitta uzluksiz yechimi bor deb farz qilamiz. U holda

Buni (1) dan ayiramiz :


deb belgilab olaylik. U holda yuqoridagi tenglikni

ko’rinishda yozish mumkin. Ma’lumki, ayirma kesmada uzluksiz bo’lgani uchun chegaralangan bo’ladi, ya’ni

Shunga asosan

Bundan foydalanib (9) tenglikdan quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz:


Buni yana (9) ga qo’yish natijasida

hosil bo’ladi. Umuuman shu jarayonni marta takrorlasak,

hosil bo’ladi.

bo’lgani uchun, cheksizlikka intilganda, (10) ning o’ng tomoni nolga intiladi.Shu sababli , ya’ni bo’ladi. Demak, ikkala yechim aslida bitta ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbot qilindi.
Teorema:Agar funksiya kesmada noldan farqli, uzluksiz, yadro sohada noldan farqli uzluksiz bo’lib, ushbu

tengsizlik bajarilsa, u holda

tenglama kesmada absolyut va tekis yaqinlashuvchi (2) qatordan iborat faqat birgina yechimga ega bo’ladi.
Misollar yechishda larning ifodalarini (3) formulalar yordamida topib, so’ngra ularni (2) qatorga qo’yib chiqish ishni osonlashtiradi.
Misol.Ushbu tenglamani yeching:

(3)ga asosan :


Qavslarni ochib so’ngra integrallarni hisoblasak

kelib chiqadi. Bunga muvofiq


va hokazo. Bularni (2) qatorga qo’yib soddalashtirilsa

yechim hosil bo’ladi.
Mashqlar
Quyidagi Fredgolm tenglamalari ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechilsin:

1. 
   .
   

2. .