Ii bob. Integral tenglamalar haqidagi asosiy tushunchalar

2.Ikki argumentli funksiya uchun
Bu paragrafda noma’lum funksiyalari ikki argumentli bo’lgan chiziqli integral tenglamalar sistemalarini yechish bilan shug’ullanamiz.Yechish uslubini misollarda ko’rsatamiz.
1-misol.Ushbu chiziqli integral tenglamalar sistemasi yechilsin:

bu yerda

Bu paragrafdagi barcha tenglamalar sistemalarini quyidagi ikkita funksional qator yordami bilan yechamiz, ya’ni ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanamiz:

Bu yerda lar noma’lum funksiyalar bo’lib sistemani yechichda ularni aniqlash talab qilinadi.
Faraz qilaylik, (14) qatorlar (13) sistemaning yechimi bo’lsin.U holda (11)ni (13) ga natijasida quyidagi ikkita ayniyat hosil bo’ladi:




Bularning ikki tomonidagi bir xil darajali larning koeffitsientlarini o’zaro tenglab, birin-ketin va larni topamiz:





Demak,

shuningdek,




shunday qilib,

va hokazo.Umumiy qonuniyat aniq bo’lib qolgani uchun quyidagicha yozish mumkin:


Mana shularni (14) qatorlarga qo’yish natijasida qaralayotgan yechimni hosil qilamiz:

Agar deb faraz qilsak, berilgan sistema soddalashadi va bo’ladi.
1-misol.Ushbu chiziqli integral tenglamalar sistemasi yechilsin:

bu yerda
Bu sistemaga (14) ko’rinishida yozilgan yechimni qo’ysak,ikkita ayniyat hosil bo’ladi.Har birining ikki tomonidagi bir xil darajali larning koeffitsiyentlarni bir-biriga tenglab birin-ketin va larni topamiz:





bu ifodalarda deb olingan.
Demak,

Bularning dan farqi shuki A ko’paytuvchidan iborat bo’lgani sababli quyidagicha yozish mumkin bo’ladi:

Endi mana shu ifodalarni (14) ga qo’yish natijasida izlanayotgan yechim hosil bo’ladi:

Agar parametrni tanlab olish bizning ixtiyorimizda bo’lsa.uni shunday tanlab olamizki,natijada bo’lib qolsin.U holda (18) da ushbu yechim hosil bo’ladi:

Agar bo’lganda va bo’lsa,
va ,
bo’ladi. U holda berilgan sistemadan

tenglamalar sistemasi hosil bo’lib, bu hol uchun yozilgan (18) va(19) yechimlarda bo’ladi.
3-misol.Ushbu chiziqli integral tenglamalar sistemasi yechilsin:

bu yerda
Yuqoridagi usul bilan (14) qatorlar yordamida quyidagilar topiladi:



Bularni (14) ga qo’yish natijasida ushbu yechim hosil bo’ladi:


Agar deb faraz qilsak, berilgan sistemadagi integrallarning quyi chegaralari nolga teng bo’lib yechimda esa

bo’ladi.
4-misol.Ushbu chiziqli integral tenglamalar sistemasi yechilsin:

bu yerda
Yuqoridagi (14) qatorlarni (23) tenglamalarga qo’yib, quyidagini hosil qilamiz va birin-ketin larni topamiz:





bu yerda

demak

shuningdek



Xuddi shu usul bilan ham topiladi, demak,

bu yerda

Shu yo’lda davom etaversak, umuman quyidagicha yozish mumkin:


bunda


Endi va larning topilgan ifodalarini (14) qatorlarga qo’yish natijasida ushbu yechimni hosil qilamiz:

Agar deb faraz qilinsa, berilgan (23) sistemadagi integrallarning quyi chegaralari nolga teng bo’ladi, u holda (24) dagi koeffitsiyentlarning ifodasi ancha soddalashadi.