Ii bob kombinatorika elementlari

2-  x o s s a .  Ixtiyoriy  natural 

n

  son  uchun  barcha 

m

n

C

  (

n

m

,

0



)  binomial 

koeffitsientlar yig‘indisi 

n

2

ga teng, ya’ni 

n

n

n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

C

2

...

1

2

1

0















. 

Bu tenglik Nyuton binomi formulasida 

1





b

a

 deb olganda hosil bo‘ladi. ■ 

3-  x o s s a .  Toq  o‘rinlarda  turgan  binomial  koeffitsientlar  yig‘indisi  juft 

o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisiga teng. 

Haqiqatdan ham, Nyuton binomi formulasida 

1



a

 va 

1





b

 deb olganda 

n

n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

C

)

1

(

...

0

3

2

1

0















 

tenglikni  hosil  qilamiz.  Bu  tenglikdan  xossadagi  tasdiqning  to‘g‘riligi  kelib 

chiqadi. ■ 

2- va 3- xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz. 

4-  x o s s a . 

n

  natural  sondan  oshmaydigan  eng  katta  toq 

m

  son  uchun 

1

3

1

2

...











n

m

n

n

n

C

C

C

  tenglik  hamda 

n

  sondan  oshmaydigan  eng  katta  juft 

m

  son 

uchun 

1

2

0

2

...











n

m

n

n

n

C

C

C

 tenglik o‘rinlidir. 

5- x o s s a . Toq 

n

 son uchun 

1

2

1

2

1

1

0

...















n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

, 

n

n

n

n

n

n

C

C

C















...

2

2

1

1

2

1

, 

juft 

n

 son uchun esa 

2

1

0

...


n

n

n

n

C

C

C







, 

n

n

n

n

n

n

C

C

C









...

1

2

2

, 

 

122 

munosabatlar o‘rinlidir. 

Haqiqatdan  ham, 

2

1





n

m

  shartni  qanoatlantiruvchi  ixtiyoriy  natural 

n

  va 

m

  sonlar  uchun 

1

1







m

m

n

  tengsizlik  o‘rinlidir, 

2

1





n

m

  bo‘lganda  esa 

1

1







m

m

n

 

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bu yerda 

m

n

m

n

C

m

m

n

C

1

1









 formulani (1- xossaga qarang) 

qo‘llab, xossadagi barcha tengsizliklarni hosil qilamiz. 

Agar 

n

 

toq 

son 

bo‘lsa, 

2

1





n

m

 

butun 

son 

bo‘lib, 

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

































n

n

n

n

n

n

n

n

m

m

n

  munosabat  o‘rinlidir.  Demak, 

m

n

m

n

C

m

m

n

C

1

1









 

formuladan 

2

1





n

m

 bo‘lganda 

2

1

1

2

1









n

n

n

n

C

C

 tenglik kelib chiqadi. ■ 

Binomial  koeffitsientlarning  5-  xossasi  Paskal  uchburchagining  yuqorida 

keltirilgan  xossalari  tasdig‘i  bo‘lib,  unga  ko‘ra  binomial  koeffitsientlar  oldin 

1

0



n

C

dan 









2

n

n

C

gacha

26

  o‘sadi,  keyin  esa 

1



n

n

C

gacha  kamayadi  hamda 

n

  toq 

bo‘lganda  binomial  koeffitsientlar  qatorining  o‘rtasidagi  ikkita  hadi  tengdir  va 

n

 

juft bo‘lganda uning o‘rtadasigi hadi eng katta va yagonadir. 

Quyidagi 6–8- xossalar o‘rinlidir. 

6- x o s s a . 

1

1

1

...



















n

k

n

n

k

n

n

n

n

n

C

C

C

C

. 

7- x o s s a . 

   

 

n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

2

2

2

1

2

0

...









. 

8- x o s s a . 

k

m

n

m

k

n

k

m

n

k

m

n

C

C

C

C

C

C

C













0

1

1

0

...

. 

Oxirgi tenglik Koshi

27

 ayniyati deb aytiladi. 

Endi  bu  uchta  xossalarni  isbotlaymiz.  Dastlab  6-  xossaning  isbotini 

keltiramiz. Birinchidan, 

k

n

n

n

x

x

x

s



















)

1

(

...

)

1

(

)

1

(

1

  

ko‘phad uchun Nyuton binomi formulasini qo‘llab, quyidagi tenglikni 

                                                           

26

 

]

[a

 yozuv 

a

 sonning butun qismini anglatadi. 

27

 Koshi (Cauchy Ogyusten Lui, 1789-1857) –fransuz matematigi. 

 

123 

hosil qilamiz: 

 

 





























k

n

m

m

m

k

n

n

m

m

m

n

n

m

m

m

n

x

C

x

C

x

C

s

0

1

0

1

0

...

 

Bu yerdan, 

s

 ko‘phaddagi 

n

x

 ifodaning koeffitsienti 

n

k

n

n

n

n

n

C

C

C











...

1

 

yig‘indiga tengligini aniqlash mumkin. 

Ikkinchidan, 

)

)

1

(

...

)

1

(

1

(

)

1

(

k

n

x

x

x

s















  ifodani  geometrik  progressiya 

hadlari yig‘indisi formulasiga binoan quyidagicha ham yozish mumkin: 





n

k

n

k

n

x

x

x

x

x

x

s

)

1

(

)

1

(

1

1

1

1

)

1

(

)

1

(

1

1



























. 

Bu  yerda  ham  Nyuton  binomi  formulasini  qo‘llab,  hosil  bo‘lgan  ko‘phadning 

n

x

 

daraja  qatnashgan  hadi  koeffitsienti 

1

1







n

k

n

C

  ekanligini  ko‘rish  mumkin.  Keltirilgan 

bu mulohazalar asosida 6- xossadagi tenglikka ega bo‘lamiz. ■ 

Ravshanki, 

m

n

n

m

n

C

C





  formula  e’tiborga  olinsa,  7-  xossa  8-  xossadan 

n

k

m





  bo‘lganda  xususiy  hol  sifatida  kelib  chiqadi.  Shuning  uchun  faqat  8- 

xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz. 

Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga ko‘ra 









n

s

s

s

n

n

x

C

x

0

)

1

(

, 









m

t

t

t

m

m

x

C

x

0

)

1

(

, 















m

n

p

p

p

m

n

m

n

x

C

x

0

)

1

(

 

tengliklarga, 

bulardan 

esa 

m

n

m

n

x

x

x











)

1

(

)

1

(

)

1

(

 

bo‘lgani 

uchun 



















m

n

p

p

p

m

n

m

t

t

t

m

n

s

s

s

n

x

C

x

C

x

C

0

0

0

  tenglikka  ega  bo‘lamiz.  Oxirgi  tenglikning  ikkala 

tomonidagi 

k

x

 (

)

,

min(

,...,

1

,

0

n

m

k



) daraja koeffitsientlarini bir-biriga tenglashtirsak, 

isbotlanishi kerak bo‘lgan formulani hosil qilamiz. ■ 

Albatta,  yuqoridagu  uchta  xossalar  boshqa  usullar  bilan  ham  isbotlanishi 

mumkin. Quyida 8- xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan. 

2-  m i s o l .   Koshi  ayniyatini  kombinatorik  tahlilga  asoslangan  holda 

isbotlaymiz. 

n

  nafar  o‘g‘il  va 

m

  nafar  qiz  bolalardan  tashkil  topgan  talabalar 

guruhidan 

k

  (

)

,

min(

,...,

1

,

0

n

m

k



)  nafar  talaba  tanlash  zarur  bo‘lsin. 

m

n



  nafar 

talabalardan 

k

 nafar talabani 

k

m

n

C



 xil usul bilan tanlash mumkinligi ravshan. 

Boshqa tomondan olib qaraganda, 

m

n



 nafar talabalardan iborat 

 

124 

to‘plamdan tanlanadigan barcha 

k

 elementli qism to‘plamlarni ularning tarkibidagi 

o‘g‘il  bolalar  soniga  qarab  sinflarga  ajratishning  quyidagicha  imkoniyati  bor. 

Tarkibida 

s

 (

k

s





0

) nafar o‘g‘il bola bo‘lgan 

k

 elementli qism to‘plamni oldin 

s

n

C

  xil  usul  bilan  tanlab,  keyin 

)

(

s

k



  nafar  qiz  bolalarni 

s

k

m

C



  xil  usullardan 

birortasi yordamida tanlash mumkin. Demak, tarkibida 

s

 nafar o‘g‘il bola bo‘lgan 

k

  nafar  talabadan  iborat  qism  to‘plamlar  soni,  ko‘paytirish  qoidasiga  asosan, 

s

k

m

s

n

C

C



 songa tengdir. Noldan 

k

gacha bo‘lgan barcha butun 

s

 sonlar uchun barcha 

kombinatsiyalarni hosil qilib va bu kombinatsiyalarga mos ko‘paytmalarni yig‘ib, 

Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz. ■ 

Binomial  koeffitsientlarning  yuqorida  keltirilgan  xossalarini  tahlil  qilish 

natijasida  ularning  turli  sohalardagi  tadbiqlari  doirasining  kengligini  payqash 

mumkin. Misol sifatida to‘plamlamlar nazariyasiga tadbiqini qaraymiz. 

3-  m i s o l .   Chekli 

A

  to‘plam 

A

2

  buleanining  elementlari  va  bu  elementlar 

soni  bilan  binomial  koeffitsientlarning  uzviy  bog‘lanishi  bor.  Bu  bog‘lanish 

quyidagicha  ifodalashi  mumkin.  Chekli 

A

  to‘plam 

A

2

  buleani  tarkibidagi 

elementlar 

A

  to‘plamning  qism  to‘plamlaridan  iborat  bo‘lgani  uchun,  shu  qism 

to‘plamlarni  quvvatlari  bo‘yicha  (

1

|

|



A

)ta  guruhlarga  ajratish  mumkin. 

Tushunarliki,  bu  yerda 

k

  raqamli  guruh  (

|

|

,

0 A

k



)  quvvati 

k

ga  teng  bo‘lgan 

barcha  qism  to‘plamlardan  tashkil  topadi  va  undagi  qism  to‘plamlar  soni 

k

n

C

ga 

teng.  Bu  mulohazani  hisobga  olgan  holda  2-  xossa  yordamida  ushbu  bobning  1- 

paragrafidagi 1- teoremaning boshqa bir isbotiga ega bo‘lamiz. ■ 

Binomial  koeffitsientlarning  yana  bir  xossasi  ushbu  bobning  7-  paragrafda 

isbotlanadi. 

 

Muammoli masala va topshiriqlar 

 

1.  Binomial  koeffitsientlarning  xossalaridan  foydalanib  quyidagi  formulalarni 

isbotlang: 

a) 

6

)

1

2

)(

1

(

...

2

1

2

2

2













m

m

m

m

, 

 

125 

b) 

4

)

1

(

...

2

1

2

2

3

3

3











m

m

m

. 

2. 

n

  dona  bir  xil  sharlar  orasidan  toq  sondagi, 

2



n

  bo‘lganda  esa  juft  sondagi 

sharlarni tanlash imkoniyatlari sonlarini aniqlang. 

3.  Binomial koeffitsientlarning quyidagi xossalarini isbotlang: 

a) 

1

1











k

n

n

k

r

k

r

C

C

, 

b) 

1

1

2









n

n

k

k

n

n

kC

, 

d) 

 

0

1

1









n

k

k

n

k

C

k

, 

e) 



















...

)

3

(

)

2

(

)

1

(

!

3

2

1

n

n

n

n

n

n

n

n

C

n

C

n

C

n

n

 

1

1

2

2

)

1

(

2

)

1

(

















n

n

n

n

n

n

n

C

C

 (

N



n

) 

f) 













...

)

2

(

)

1

(

2

1

m

n

m

n

m

n

C

n

C

n

 

1

2

2

3

)

1

(

2

)

1

(

















n

n

n

m

n

n

n

C

C

, 

n

m



, (

N



n

m,

).