Ii. Оптимальные разностные формулы в пространстве

ГЛАВА II. ОПТИМАЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ ФОРМУЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ .
В данной работе рассматривается задача построения оптимальных разностных формул для приближенного решения задачи Коши в пространстве Соболева, функций производные -го порядка (в обобщенном смысле) интегрируемых с квадратом. Представления оптимальных разностных формул находятся при помощи дискретного аналога дифференциального оператора -го порядка.
В первом пункте рассмотрены задачи построения оптимальных явных разностных формул типа Адамса. Далее минимизируя нормы функционала погрешности по коэффициентам получена система линейных алгебраических уравнений. Эта система приведена к системе уравнений в свёртках и полностью решена с помощью дискретного аналога дифференциального оператора второго порядка.
Во втором пункте построена оптимальная неявная разностная формула в пространстве Соболева. В остальных пунктах вычислен квадрат нормы функционала погрешности оптимальных явных и неявных разностных формул в сопряженном пространстве Соболева. Анализ работы показывает, что неявные формулы дают хорошую сходимость чем явные.
При численном решении задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений вычислительные методы служат для приближенного определения функций, представляющих решение этих задач.
Задачу поиска наиболее удобных численных выражений функции и ее связь с методами улучшения таких приближений играют важную роль в практических расчетах. Учитывая специфику конкретной задачи, можно значительно ускорить процесс решения (см, например Соболев С.Л. [1,8], Бабушка И. [5,6], Далквист Г. [14,15]).
В настоящей работе мы будем рассматривать лишь так называемые дискретные методы, т.е. методы, определяющие решение для дискретных значений независимой переменной. В частности мы проанализируем разностные методы.
В работах И.Бабушки [5,6], Г.Далквиста [14] рассмотрены построение оптимальных разностных формул в пространстве при при при при и доказана устойчивость разностных формул.
В работах [7,11,19] рассмотрена задача построения оптимальных разностных формул. Здесь в пространстве для нахождения оптимальных коэффициентов разностных формул получена система линейных алгебраических уравнений для любого целого и . В работах [4,9,10,12,13,16] с помощью вариационных методов построены оптимальные квадратурные формулы в пространствах Соболева. В работах [3,18] явно построены дискретные аналоги дифференциальных операторов го порядка.
В настоящей главе диссертации для любого целого построены оптимальные явные и неявные разностные формулы в пространстве . Кроме того, вычислены квадрат нормы функционалов погрешностей оптимальных явных и неявных разностных формул в пространстве , т.е. получены оценки их погрешностей. Следует отметить что в пространстве Соболева построенная оптимальная явная разностная формула оказалась известной разностной формулой Эйлера. Далее с помощью построенных явных оптимальных разностных формул решены конкретные задачи Коши.