Ii. Оптимальные разностные формулы в пространстве

Теорема 2.3. В фактор пространстве Соболева , существует единственная оптимальная неявная разностная формула, типа Адамса, коэффициенты которых определяются формулами


Доказательство теоремы 2.3.
Для этого сначало вычислим функцию дискретного аргумента


так, как то имеем


Здесь определяется формулой (2.7).
Рассмотрим неявную разностную формулу вида
(2.11)
с функционалом погрешности

в пространстве .
В этом параграфе также рассмотрим случай т.е. формулу типа Адамса.
Минимизируя норму функционала погрешности (2.11) неявной разностной формулы вида (2.11) по коэффициентам в фактор пространстве получаем систему линейных алгебраических уравнений [38].
(2.12)
(2.13)
Здесь неизвестными являются , -коэффициенты неявных разностных формул, неизвестный член. Как в общем случае считая, что

(2.12), (2.13) перепишем в виде уравнений в свёртках
(2.14)

Обозначим через Из (2.14) видно, что
при
Теперь находим при и .
Пусть , тогда


Здесь определяется равенством
(2.15)
Точно также при имеем


Здесь определяется равенством
(2.16)
Из (2.15) и (2.16) немедленно следует, что
(2.17)
И так для любого определяется формулой
(2.18)
Из общей теории известно, что

здесь
(2.19)
а дискретная дельта функция, которая определяется равенством

Применяя оператор (2.19) к имеем
(2.20)
Считая, что при и получаем систему линейных уравнений для нахождения неизвестных и в формуле (2.18).
Действительно, вычисляя свертку, имеем


(2.21)
Приравнивая к нулю выражение (2.21) при и пользуясь формулами (2.18), (2.19) получим




Или


Отсюда

В силу формулы (2.7), окончательно находим

Тогда, из (2.17) имеем

И так окончательно в (2.18) принимает вид

Теперь переходим к вычислению оптимальных коэффициентов неявных разностных формул по формуле (2.20).




Т. е.

Вычислим следующий оптимальный коэффициент




Значить

Переходим к вычислено при




И так при
Вычислим



Значить

И так мы доказали теорему 2.3.

2.3. Норма функционала погрешности оптимальной явной разностной формулы типа Адамса в пространстве .

В настоящем параграфе будет вычислен квадрат нормы функционала погрешности оптимальной явной разностной формулы в пространстве т.е. будет получена оценка погрешности построенной явной разностной формулы.
Справедлива следующая теорема