Iii bob. Kompleks sonlar mavzu Algebraik shakldagi kompleks sonlar. Reja: Kompleks sonning ta’rifi

Аlgebraik shakldagi kompleks sonlar
ustida amallar
1. Qo’shish. (a+bi)+(s+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)+(c+di)+(m+ni)=(a+c+m)+(b+d+n)i.
Bundan kompleks sonlar yig’indisi ham haqiqiy sonlar yig’indisiga tegishli bo’lgan o’rin almashtirish va guruhlash xossalariga ega ekanligini ko’rish oson.
Qo’shma va qarama-qarshi kompleks sonlarning yig’indisi haqiqiy son bo’ladi:
(a+bi)+(a-bi)=2a; (a+bi)+(-a-bi)=0.
2. Ayirish. (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
3. Ko’paytirish.
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ab)i.
Shunga o’xshash uch va undan ortiq kompleks sonlarning ham ko’paytmasini topish mumkin.
Nolga teng bo’lmagan ikkita qo’shma kompleks sonlarning (a+bi)(a-bi) ko’paytmasi musbat haqiqiy a²+b² songa teng. Haqiqatdan (a+bi)(a-bi)=a²+abi-abi-b²i²
i²=-1 bo’lishini e’tiborga olsak, (a+bi)(c-di)=a²+b²
talab qilingan natijani olamiz.
Misollar:
1) (3+2i)(4-5i)=12+8i-15i-10i²=12-7i+10=22-7i;
2) (6+i)(6-i)=36-i²+6i=36+1=37;
3) (7+6i)(7-6i)=49+42i-36i²=49+36=85.
4. Bo’lish. a+bi kompleks sonni c+di kompleks songa bo’lish deb, Shunday uchinchi bir x+ui kompleks songa aytiladiki, bu son uchun

bo’lsa, (x+yi)(c+di)=a+bi bo’ladi.
Oxirgi tenglikning ikkala qismini s-di ga ko’paytiramiz va olamiz (a+bi)(c-di)=(x+yi)(c²+d²).
Bu tenglikning ikkala qismini

ga ko’paytirib, olamiz

Ikkita kompleks sonning tenglik shartiga ko’ra x va u uchun
ifodalarni topamiz.
Misollar. 1)

2)

Kompleks sonlar uchun quyidagi asosiy qonunlar bajarilishligini isbotlash mumkin:
a) Qo’shishning o’rin almashtirish qonuni:
(a+bi)+(c+di)=(c+di)+(a+bi);
b) Qo’shishning guruhlash qonuni:
(a+bi)+(c+di)+(m+ni)=(a+bi)+ ;
v) Ko’paytirishning o’rin almashtirish qonuni:
(a+bi)(c+di)=(c+di)(a+bi);
g) Ko’paytirishning guruhlash qonuni:
(a+bi)(c+di)(m+ni)=(a+bi).
d) Ko’paytirishning qo’shishga nisbatan taqsimot qonuni:
(m+ni)=(a+bi)(m+ni)+(c+di)(m+ni).
5. Z=a+bi kompleks sonni n-darajaga (n N) ko’tarish kompleks sonlarni ko’paytirishning xususiy holidek bajariladi: .

i mavhum birlikning natural darajalarini hisoblaymiz. Agar (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(cb+ad)i da a=c=0.
b=d=1 bo’lsa, i²=-1 bo’lishligi kelib chiqadi
i³=i²i-i; t⁴=i²i²=(-1)(-1)=1; i⁵=i⁴i=i, i⁶=i⁴i²=-1;
i⁷=i⁴i³=-i; i⁸=i⁴i⁴=1 va hokazo umuman,
i⁴ⁿ=1, i⁴ⁿ⁺¹=i, i⁴ⁿ⁺²=-1, i⁴ⁿ⁺³=-i, bunda n natural son.
Misollar. 1) i⁵⁹= i⁴_*¹⁴⁺³= i⁴_*¹⁴i³=(t⁴)¹⁴t³=1i³=1_*(- i)=-i;
2) i⁹⁶= i⁴_*²⁴=(i⁴)²⁴= 1²⁴= 1.