Iii bob vektorlar matematik obyekt sifatida 1 Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar

3.2 Vektorlarning skalyar, vektor va aralash ko’paytmasi.


va vektorlar va ular orasidagi burchak berilgan bo‘lsin. Ushbu

k o‘paytma va vektorlarning skalyar ko‘paytmasi deyiladi va kabi belgilanadi. Demak,
.
Koordinatalari bilan berilgan va vektorlarning skalyar ko‘paytmasi

tenglik orqali topiladi.
Bu ikkita tenglikdan va ekanligini e’tiborga olgan holda, berilgan va vektorlar orasidagi burchak kosinusini hisoblashda qo‘llaniladigan ushbu

tenglik kelib chiqadi.
Skalyar ko‘paytma quyidagi xossalarga ega:
. ;
. ;
. .
. . Bunda .


vektorning skalyar ko‘paytmasi vektorning skalyar kvadrati deyiladi va kabi belgilanadi. Koordinatalari bilan berilgan vektorning skalyar kvadrati

tenglik orqali topiladi. vektorning uzunligi formulasini e’tiborga olsak, yoki tenglikni hosil qilamiz.
Mustaqil ishlash uchun topshiriq. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi ushbu

tengsizlikni isbotlang.
Ko‘rsatma. Vektorlar orasidagi burchak kosinusi formulasidan va kosinusning qabul qiladigan qiymatlari to‘plamidan foydalaning.


va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo‘lsa, bunday vektorlar perpendikulyar (ortogonal) vektorlar deyiladi va kabi belgilanadi.
Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar.
1) Noldan farqli ikkita va vektorlar uchun ushbu

perpendikulyarlik shartini isbotlang.
2) Dekart koordinatalar sistemasining , , ortlari uchun , va ekanligini isbotlang.
3) va vektorlarning va yoyilmalari hamda , , munosabatlardan foydalanib, bu vektorlar skalyar ko‘paytmasining

formulasini isbotlang.

Endi ikkita vektorning vektor ko‘paytmasiga to’xtalamiz.

Avvalo, vektorni aniqlash degani – bu vektorning uzunligi va yo‘nalishini aniqlash ekanligini yana bir bor esga olamiz.

Bizning maqsadimiz ikkita vektor ustida qandaydir amallar bajarib, ko‘paytmada boshqa, vektor ko‘paytma deb ataluvchi uchinchi vektorni hosil qilishdan iborat. Uchinchi vektor (vektor ko‘paytma)ning uzunligini va yo‘nalishini berilgan ikkita vektorning uzunligi va yo‘nalishlaridan foydalanib topish talab etiladi.
Noldan farqli va vektorlar berilgan bo‘lsin. Bu degani, ularning va uzunliklari hamda yo‘nalishlari ma’lum degani. Yo‘nalishlar berilgan bo‘lsa, ular orasidagi burchak ham aniqlangan bo‘ladi. va vektorlarning boshlarini ustma-ust tushadigan qilib joylashtiramiz.
va vektorlarning vektor ko‘paytmasi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi vektorga aytiladi:
(V1) (bu shart bilan vektorning uzunligi aniqlandi);
vektorning boshini va vektorlarning umumiy boshiga shunday qo‘yamizki,
(V2) va hamda
(V3) vektorning oxiridan kuzatganda vektordan vektorga eng qisqa burilish soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi yo‘nalishda bo‘lsin (2 va 3 shartlar orqali vektorning yo‘nalishi aniqlandi).
Keltirilgan ta’rifni ushbu jadvalda illyustratsiya qilamiz.

Berilgan va vektorlarning vektor ko‘paytmasini quramiz.	Birinchi qadamda va vektorlarning boshlarini ustma-ust tushadigan qilib joylashtiramiz va vektorning uzunligini topamiz.	Ikkinchi qadamda fazoda uzunligi ga teng shunday olamizki, ning boshi va larning umumiy boshida bo‘lib, va bo‘lsin. Bunaqa vektorlar ikkita bo‘ladi. Uchinchi qadamda shu ikkita vektorlardan bittasi quyidagicha tanlanadi.
Vektor berilgan degani, uning uzunligi va yo‘nalishi ma’lum, degani ekanligini ta’kidlaymiz.	Bu uzunlikning son qiymati va vektorlarga qurilgan parallelogrammning yuzasining son qiymatiga teng, ya’ni .	vektorning oxiridan kuzatganda vektordan vektorga eng qisqa burilish soat strelkasi yo‘nalishi bilan bir xil. Bu holda .	vektorning oxiridan kuzatganda vektordan vektorga eng qisqa burilish soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi. Bu holda .

Eslatma. (V3) shartni qanoatlantiruvchi , va vektorlar o‘ng uchlik tashkil etadi deyiladi.

Agarda va vektorlarning birortasi nol-vektor bo‘lsa, bo‘ladi.
va vektorlarning vektor ko‘paytmasini orqali ham belgilashadi.
Vektorlarning vektor ko‘paytmasi quyidagi xossalarga ega.
. .
. .
. .
Agarda va vektorlar kollinear bo‘lsa, u holda ravshanki, yo , yo bo‘ladi. Bu holda bo‘lib, natijada vektorlarning kollinearlik sharti deb ataluvchi ushbu xossaga ega bo‘lamiz:
. .
Xususiy holda, har qanday vektor uchun bo‘ladi.
Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar. Dekart koordinatalar sistemasining , , ortlarinining vektor ko‘paytmalari uchun ushbu tengliklarni eslab qoling:
, , ,
, , ,
, , ,

Endi koordinatalari bilan berilgan va vektorlarning vektor ko‘paytmasining koordinatalarini topish formulasini yozamiz:

.
Diqqatingizni ikkita vektorning skalyar ko‘paytmasi qandaydir son ekaniga, ikkita vektorning vektor ko‘paytmasi esa qandaydir vektor ekaniga qarating.

Uchta vektorning aralash ko‘paytmasi. Ikkita vektorning skalyar ko‘paytmasi qandaydir son, ikkita vektorning vektor ko‘paytmasi esa qandaydir vektor bo‘ladi.

Noldan farqli , , vektorlar berilgan bo‘lsin. vektorning vektor ko‘paytma bilan skalyar ko‘paytmasi uchta vektorning aralash ko‘paytmasi deyiladi.
Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar.
1) ko‘paytma nima uchun aralash ko‘paytma deb atalishini izohlang.
2) aralash ko‘patma natijasida qanday kattalik hosil bo‘ladi?
vektor son yo‘nalish kattalik hosil bo‘lmaydi
3) vektorning skalyar ko‘paytma bilan ko‘paytmasini qanday atagan bo‘lar edingiz?

Agarda , , vektorlardan birortasi nol-vektor bo‘lsa, u holda ularning aralash ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi: .

Parallel tekisliklarda yotuvchi vektorlar komplanar vektorlar deyiladi.
Mustaqil ishlash uchun topshiriq. Har qanday ikkita vektor komplanar bo‘lishini isbotlang.
Ko‘rsatma. Har qanday uchta nuqta uchun ular yotadigan tekislik har doim mavjudligidan foydalaning.

Komplanar bo‘lmagan uchta , , vektorlar berilgan bo‘lsin. Ularning boshlarini bitta nuqtaga keltiramiz va bu vektorlarga asosi va vektorlarga qurilgan parallelogramm bo‘lgan parallelepiped quramiz. Bunda , va vektorlar o‘ng uchlik tashkil etsin.

Ushbu jadvalda aralash ko‘paytmaning illyustaritsiyasini keltiramiz.

Berilgan komplanar bo‘lmagan vektorlar.	va vektorlarga qurilgan parallelogramm yuzasi . ga teng. ekanligini ta’kidlaymiz.	Parallelepiped hajmi ga teng, bu erda – balandlik. Shuning uchun . Natijada, .
, va vektorlar o‘ng uchlik tashkil etsin.

Shunday qilib, uchta vektorning aralash ko‘paytmasi modulining geometrik talqini shu vektorlarga qurilgan parallelepipedning hajmi ekan.

1) Agar , , – o‘ng uchlik bo‘lsa,

bo‘ladi.
2) Agar , , – chap uchlik bo‘lsa,

bo‘ladi.
Uchta vektorning aralash ko‘paytmasi quyidagi xossalarga ega.
. Siklik o‘rin almashtirishlarda aralash ko‘paytma o‘zgarmaydi, ya’ni
.
. .
. Koordinatali berilgan uchta , , vektorlarning aralash ko‘paytmasi

tenglik orqali topiladi.
. Uchta vektorning komplanarlik sharti. , va vektorlar faqat va faqat bo‘lgandagina komplanar bo‘ladi.
Koordinatali berilgan uchta , , vektorlar komplanar bo‘lishi uchun

bo‘lishi zarur va yetarli.