Ikki o’zgaruvchili garmonik funksiyalar bir qiymatli analitik funksiyaning haqiqiy yoki mavhum qismidan iborat bo’lib, Laplas tenglamasining yechimi bo’ladi

1.1-misol. a) funksiyani differensiallanuvchanlikka tekshiring.

Yechish. funksiya butun kompleks tekislikda differensiallanuvchi, chunki , funksiyalar (1.2) Koshi – Riman shartini qanoatlantiradi, ya’ni

.

(1.3) formulaga ko’ra

.

Demak, .

2. 
   funksiyani differensiallanuvchanlikka tekshiring.
   

Yechish. .

va

(1.2) shartdan

bundan funksiya z=0 nuqtada differensiallanuvchi ekan.

funksiya sohada differensiallanuvchi va , funksiyalar ikkinchi shartigacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin, uzbekiston holda , (1.2) tenglikning birinchisini x bo’yicha, ikkinchisini uzbekiston bo’yicha differensiallab

hosil qilamiz.

Bu tengliklarni qo’shib, va hosilalarini uzluksiz ekanligidan tengligini inobatga olib ,

. (1.4)

Huddi shunga o’xshash (1.2) tenglikning birinchisini uzbekiston bo’yicha ikkinchisini x bo’yicha differensiallab

Hosil qilamiz. Bu tengliklarni birinchidan ikkinchisini ayirib

ega bo’lamiz.