Yechish. Berilishiga ko’ra funksiya sonlar tekisligida, xususan berilgan doirada uzluksiz va istalgan tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega. Dastlab berilgan funksiyani doirada garmoniklikka tekshiramiz. Buning uchun uning xususiy hosilalarini hisoblaymiz:
.
U holda bu funksiya uchun
bo’lib, u Laplas tenglamasining regulyar yechimi, ya’ni tekislikdagi barcha nuqtalarda, xususan doirada ham garmonik funksiya bo’ladi.
Demak bu funksiya uchun garmonik funksiya uchun maksimum qiymat prinsipini qo’llash mumkin. Bu funksiya garmonik bo’lgan doira chegarasi aylanadan iborat bo’lib, chegaraviy nuqtalarda tenglik o’rinli bo’lib, bu nuqtalar to’plamida qaralayotgan funksiya
ko’rinish oladi. Bu kvadrat funksiya bo’lib, u nuqtada maksimum qiymatga va nuqtada esa minimum qiymatga erishadi. Erkli o’zgaruvchi ning qiymatiga ning va qiymatga esa qiymati mos keladi.
Shunday qilib berilgan funksiya chegaraviy nuqtalarda
eng katta (maksimum) qiymatiga va chegaraviy nuqtada esa
eng kichik (minimum) qiymatiga erishadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
