Ikki o’zgaruvchili garmonik funksiyalar bir qiymatli analitik funksiyaning haqiqiy yoki mavhum qismidan iborat bo’lib, Laplas tenglamasining yechimi bo’ladi

1.4-xossa. Agar sohada garmonik funksiya hech bo’lmaganda yuqori yoki quyidan chegaralangan bo’lsa, u holda u o’zgarmas.

Isbot. funksiya sohada yuqoridan chegaralangan bo’lsin: dir. Butun sohada shunday bir qiymatli analitik funksiyani quramizki, . Shartiga ko’ra funksiyaning barcha qiymatlari yarim tekislikda yotadi. funksiya o’zgarmas, demak, ham o’zgarmasdir. Xossa isbot qilindi.

Quyidagi o’rta qiymat haqidagi teoremaga teskari teoremalardan iboratdir.

1.5-xossa. Agar funksiya sohada uzliksiz va yetarlicha kichik -lar uchun ixtiyoriy nuqtada



bo’lsa, u holda funksiya sohada garmonikdir.

Quyidagi xossa kompleks o’zgaruvchi funksional qatorlar uchun o’rganilgan Veyeritrass teoremasiga o’xshashdir.

1.6-xossa. sohada garmonik va da uzluksiz bo’lgan garmonik funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo’lsin. Agar qator ning chegarasida tekis yaqinlashsa, u holda bu qator -ning ichida ham tekis yaqinlashadi va uning yig’indisi ham sohada garmonik funksiya bo’ladi.

1.7-xossa. Agar funksiya bir bog’lamli sohada garmonik va o’zining xususiy hosilasi bilan da uzluksiz bo’lsa, u holda

,

bu yerda -normal bo’yicha hosilasi, -yoyning differensiali.