Ikki o’zgaruvchili garmonik funksiyalar bir qiymatli analitik funksiyaning haqiqiy yoki mavhum qismidan iborat bo’lib, Laplas tenglamasining yechimi bo’ladi

1.5-misol [12]. funksiyaga qo’shma garmonik bo’lgan funksiya’ni Koshi-Riman sistemasidan foydalanib toping.

Yechish. (1.5) Koshi-Riman sistemasidan foydalanib funksiyadan ni olamiz.Bundan esa

ga ega bo’lamiz.

funksiyani bo’yicha differensiallab, berilgan funksiya va (1.5) formulani e’tiborga olib, quydagiga

ega bo’lamiz. Bundan

Shunday qilib funksiya ko’rinishga ega bo’ladi.

1.6-misol: bo’lsa qo’shma garmonik funksiya’ni toping.

Yechish: (1.5) Koshi-Riman sistemasiga ko’ra = ga teng. Bundan = ga ega bo’lamiz . Izlanayotgan funksiya garmonik funksiya bo’lgani uchun Laplas tenglamasini qanoatlantiradi, ya’ni larni etiborga olib quyidagilarni =+= olamiz. Bundan ni topamiz .Shunday qilib qo’shma garmonik funksiya = ko’rinishsda bo’ladi .

1.7-misol. Agar analitik funksiya’ning haqiqiy qismi berilgan bo’lsa, u holda bir bog’lamli D sohada egri chiziqli integrallash yordamida analitik funksiya’ni toping.

Yechish. Ma’lumki bo’lib va funksiyalar

Koshi-Riman sistemasini qanoatlantiradi. Demak, (1.7) formulaga ko’ra quydagiga ega bo’lamiz:

Shunday qilib, analitik funksiya quydagi

ko’rinishida tuziladi.

1.8-misol. funksiya va shart orqali

analitik funksiya’ni toping.

Yechish. funksiya garmonik funksiya ekanligini tekshirish maqsadida va hosilalarini topamiz va barcha lar uchun Laplas tenglamasi qanoatlantirilishiga ishonch hosil qilamiz, ya’ni



tenglik bajariladi. Demak funk siya garmonik funksiyadir. Bundan va (1.7) formuladan hamda nuqtani tanlab, quyidagiga

ega bo’lamiz.

Shunday qilib, analitik funksiya quyidagi



ko’rinishda tuziladi. Demak, izlanayotgan funksiya

ko'rinishda bo’ladi.