ikki va uch olchalik fososda vektorlar. Vektor haqida tushuncha. Ta'riflar va asosiy xususiyatlar

1.3 Asos

Berilgan asosdagi vektorning xossalari.

Ta'rif: Tekislikdagi (kosmosda) asos - bu kollinear bo'lmagan (uch karra koplanar bo'lmagan) vektorlarning har qanday tartiblangan juftligi.

Tekislikdagi asos (kosmosda) har bir vektorni tartiblangan juftlik (uch) raqamlar bilan yagona bog'lash imkonini beradi - bu vektorni asosiy vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalash koeffitsientlari. Aksincha, bazis yordamida har bir tartiblangan raqamlar juftligi (uchlik) chiziqli kombinatsiya yordamida vektor bilan bog'lanishi mumkin.

Raqamlar - berilgan asosdagi vektorning komponentlari (yoki koordinatalari) deyiladi . Berilgan asosda vektorni koordinatalar yordamida aniqlash mumkin:

Teorema: Ikki vektor qo'shilsa, ularning koordinatalari qo'shiladi. Vektor raqamga ko'paytirilsa, vektorning barcha koordinatalari shu raqamga ko'paytiriladi.

1.4 Vektor proyeksiyasi

Haqiqatan ham, agar va bo'lsa , keyin

.

Vektorlar orasidagi burchak deganda ma'lumotlarga teng va umumiy kelib chiqishiga ega vektorlar orasidagi burchak tushuniladi. Agar burchak mos yozuvlar yo'nalishi ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda vektorlar orasidagi burchak p dan oshmaydigan burchaklardan biri hisoblanadi . Agar vektorlardan biri nolga teng bo'lsa, u holda burchak nolga teng deb hisoblanadi. Agar vektorlar orasidagi burchak toʻgʻri chiziq boʻlsa, vektorlar ortogonal deyiladi.

Ta'rif: vektorning vektor yo'nalishi bo'yicha ortogonal proyeksiyasi skalyar kattalikdir

ph - vektorlar orasidagi burchak (5-rasm).



Guruch. besh

Bu skalyar miqdorning moduli OA segmentining uzunligiga teng.

Agar ph burchagi o'tkir proyeksiya bo'lsa musbat qiymat, ph burchagi o'tmas bo'lsa - proyeksiya manfiy, ph burchagi to'g'ri chiziq bo'lsa - proyeksiya nolga teng.
Vektor proyeksiyalari quyidagi xususiyatlarga ega:
(yig'indining proyeksiyasi proyeksiyalar yig'indisiga teng);
vektor va sonning ko'paytmasining proyeksiyasi vektor va sonning proyeksiyasining ko'paytmasiga teng).
Ortogonal (ortonormal) asoslarda vektor proyeksiyalari alohida rol o'ynaydi.
Agar bazis vektorlari juft ortogonal bo'lsa, u ortogonal deb ataladi.
Ortogonal asos, agar uning vektorlari uzunligi bittaga teng bo'lsa, ortonormal deyiladi. Kosmosdagi ortonormal asos uchun yozuv ko'pincha ishlatiladi .
Teorema: Ortonormal asosda vektorlarning koordinatalari bu vektorning koordinata vektorlarining yo'nalishlariga mos keladigan ortogonal proyeksiyalaridir.
Misol: Birlik uzunlikdagi vektor tekislikda ortonormal asosli vektor bilan ph burchak hosil qilsin ( 6-rasm), keyin



Guruch. 6

Misol: Birlik uzunlikdagi vektor vektor fazodagi ortonormal bazisning ortonormal asosining , , vektorlari bilan mos ravishda a, b, g burchaklar hosil bo'lsin (7-rasm), keyin

Guruch. 7

Va

Miqdorlar vektorning yo'nalish kosinuslari deyiladi

Vektorning koordinata o'qlariga proyeksiyalari uning (kartezian) koordinatalari deb ham ataladi.
vektorning mos ravishda boshi va oxiri bo'lgan ikkita nuqta va berilgan bo'lsa, uning x,y,z koordinatalari formulalar bilan aniqlanadi.

Bu holda vektorning moduli:

Yo'nalish kosinuslaridan foydalanib, vektorning koordinatalarini quyidagicha yozish mumkin:

Proyeksiyalar yordamida vektorlarni qo'shish (ayirish) amallarini, shuningdek vektorni songa ko'paytirish amallarini yozish oson:
Xususan, agar

Agar , har qanday raqam uchun

Bir to'g'ri chiziqda yoki parallel to'g'rida yotuvchi vektorlar kollinear deyiladi. Ikki vektorning kollinearlik belgisi

ularning koordinatalarining proportsionalligi:

Yana bir bor koordinata asosining ta'rifini beramiz (proyeksiyalar yordamida).

uchlik vektorlar koordinata asosi deyiladi:
). Vektor Ox o'qida, vektor - Oy o'qida, vektor - Oz o'qida harakat qiladi;
). Vektorlarning har biri o'z o'qi bo'ylab ijobiy yo'nalishda yo'naltirilgan;
). Vektorlar birlik, ya'ni
Vektor nima bo'lishidan qat'iy nazar , u har doim asos bo'yicha kengaytirilishi mumkin , ya'ni uni quyidagicha ifodalash mumkin.

bu kengayishning koeffitsientlari vektorning koordinatalari (ya'ni, x, y, z - vektorning koordinata o'qlariga proyeksiyalari).