ikki va uch olchalik fososda vektorlar. Vektor haqida tushuncha. Ta'riflar va asosiy xususiyatlar

3. DONK MAHSULOTINING QO'LLANISHI

Skayar mahsulotdan foydalanish matematika, fizika va amaliy fanlarning elementar sohalarida ham, juda mavhum sohalarida ham juda keng. Quyida vektorlarning nuqta mahsulotidan foydalanishga misollar keltirilgan.

Misol
Agar vektor uzunligini toping
Qaror:



Misol 4.2 Kosinuslar teoremasi



Guruch. sakkiz

Uchburchakda c tomonining kvadrati boshqa tomonlarning kvadratlari yig'indisiga, bu tomonlarning uzunliklari va ular orasidagi burchakning kosinusining ikki baravar ko'paytmasiga teng (8-rasmga qarang).

Yuqoridagi rasmda ko'rsatilgandek vektor kiritamiz. Keyin (3-formuladan foydalanib) olamiz:




Misol
A(-4;-4;4), B(-3;2;2),C(2;5;1), D(3;-2) cho’qqilarining koordinatalari bilan berilgan to’rtburchakning diagonallari ekanligini isbotlang. ;2) o'zaro perpendikulyar.
Yechish: Berilgan to‘rtburchakning diagonallarida yotgan AC va BD vektorlarini tuzamiz. Bizda ... bor:

Ushbu vektorlarning skalyar mahsulotini topamiz:

Demak, bundan kelib chiqadi . Shuning uchun ABCD to'rtburchak diagonallari o'zaro perpendikulyar.

4.4-misol
Doimiy kuchning ishi
Moddiy nuqta o'zgarmas F kuch ta'sirida A pozitsiyadan B holatga to'g'ri chiziqli harakat qilsin, AB = S siljishi bilan burchak hosil qilsin (9-rasmga qarang).



Guruch. to'qqiz

Fizikadan ma'lumki, F kuchning S harakatdagi ishi teng

Shunday qilib, o'zgarmas kuchning qo'llash nuqtasining to'g'ri chiziqli harakati paytida ishi kuch vektori va siljish vektorining skalyar ko'paytmasiga teng.
Misol
Moddiy nuqta traektoriyasining radiusi. Jism gorizontal ravishda (tortishish maydonida) tezlik bilan tashlanadi . Jismning t sekunddan keyingi traektoriya radiusini toping



Guruch. 10

Yechish: Egri chiziq bo‘ylab harakatlanayotganda radius:

Bu erda - tananing tezligi moduli, - "normal" tezlanish - tananing to'liq tezlanishining komponenti, to'liq tezlikka perpendikulyar.

Jism tortishish maydonida harakat qilganligi sababli, t sekunddan keyin tezlikning x va y o'qlari bo'ylab proyeksiyalari teng bo'ladi :

erkin tushish tezlashuvi qayerda . Endi biz olamiz:

Misol
Muntazam DABC tetraedrida MN segmenti AD chetining o'rta nuqtasini yuzning BCD markazi bilan, QP segmenti esa CD qirrasining o'rta nuqtasini ABC yuzining markazi bilan bog'laydi. MN va PQ segmentlari orasidagi burchakni toping (11-rasmga qarang).

Guruch. o'n bir

Qaror. Mayli . Oddiy geometrik fikrlardan biz quyidagilarni olamiz:

Belgilang - vektorlar orasidagi burchak va . Formuladan (1) (skalar mahsulotning ta'rifi) biz quyidagilarni olamiz:

Ko'rinib turibdiki:

Bu erdan biz olamiz:

Chunki

keyin bizda:

Olingan iboralarni (***) ga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Javob. MN va PQ segmentlari orasidagi burchak quyidagilarga teng:

Qiziqarli muammoni ko'rib chiqing: " "
U turli xil echimlarni o'z ichiga oladi, ulardan foydalanish matematik ob'ektlar o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatishda sub'ekt ichidagi munosabatlardan foydalanish qiymatini ko'rsatishga imkon beradi.
Qaror:
Birinchi yo'l.
Bu shartdan kelib chiqadi
quyidagi haqiqiy tengsizliklar zanjiri bizni kerakli natijaga olib borishini isbotlashimiz kerak :

Talab qilinganligi isbotlangan.

Ikkinchi yo'l.
Bu aniq
Ikki manfiy bo'lmagan sonning geometrik o'rtacha va arifmetik o'rtacha qiymati o'rtasidagi munosabat tufayli biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

ifoda qo‘shamiz .

Lekin shuning uchun
Uchinchi yo'l.
Ikki ijobiy sonning o'rtacha kvadrati va o'rtacha arifmetik nisbati o'rtasidagi nisbatga asoslanib, bizda quyidagilar mavjud:

Yechishning to'rtinchi usuli algebra va trigonometriya o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rsatadi.

Shartga ko'ra, siz ruxsat berishingiz mumkin: Yechim
muammo tengsizlikning haqiqatini isbotlash uchun qisqartirildi
Bu aniq

Va talab qilinadigan narsa aniq haqiqatdir.

Beshinchi usuldagi yechim nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasining taniqli xossasini qo'llashga asoslangan. (Ya'ni vektorlar orasidagi burchak qayerda
Bundan tashqari, buni hisobga olgan holda
Chapdagi tenglik va vektorlari qarama -qarshi yo'naltirilgan bo'lsa, o'ng tomonda esa vektorlar ko'rsatilgan bo'lsa, amal qiladi . )
Vektorlarni ko'rib chiqing va Keyin va


a

Va keyin bor

Keling, masalani oltinchi usulda hal qilaylik.
Muammoning grafik talqinini ko'rib chiqing.
Buning uchun biz almashtirishni kiritamiz: Keyin tenglama va tengsizlik quyidagicha ko'rinadi: va ularning grafiklarini qurishimizni hisobga olsak - nuqtalarda Ox va Oy koordinata o'qlarida uchlari bo'lgan segment va chorak bilan chegaralangan ochiq maydon. doiradan



Guruch. 12


va musbat koordinatalar yarim o'qlari.
Bu grafiklar bir nuqtada tangens ekanligi aniq.Birinchi grafikning barcha nuqtalari tengsizlik grafigi bo‘lgan sohada joylashgan.
Shunday qilib, talab isbotlangan.
XULOSA

Nuqta mahsuloti matematikada va boshqa tabiiy fanlarda keng qo'llaniladi. Ko'pgina masalalar vektorlar yordamida oqlangan va ixcham tarzda echiladi. E'tibor bering, vektor amallarning xossalari ko'p jihatdan sonlarni qo'shish va ko'paytirish xususiyatlariga o'xshaydi. Bu vektor operatsiyalarining qulayligi: vektorlar bilan hisob-kitoblar taniqli qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Shu bilan birga, vektor geometrik ob'ekt bo'lib, vektor amallarini aniqlashda uzunlik va burchak kabi geometrik tushunchalar qo'llaniladi. Geometriya (va uni fizika va boshqa bilim sohalarida qo'llash) uchun vektorlarning foydaliligi shu bilan bog'liq.

Yana e’tibor bering, vektorlarning algebraik talqini (xossalar, bazis, skalyar ko‘paytma va boshqalar) vektor tushunchasini boshqa matematik obyektlarga umumlashtirish imkonini berdi. Masalan, vektor tushunchasi tabiiy ravishda geometriyada qo'llaniladi (Minkovskiy fazosida). Funktsional tahlilda keng qo'llaniladigan "vektorlar". Va barcha bunday sohalarda nuqta mahsulotidan foydalanish hal qiluvchi rol o'ynaydi.
Bu ishda algebra va geometriyaning predmet ichidagi aloqasi ko’rsatildi va natijada matematik masalaning oqilona yechimini izlash, vektorlardan foydalanish mumkin bo’lgan vazifalar doirasini aniqlash qobiliyati rivojlantirildi.
Bibliografiya

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometriya, №1 jild.

2. Aleksandrov P.S. Analitik geometriya bo'yicha ma'ruzalar. M, Nauka, 1968, 912 b.
. Muskhelishili N.I. Analitik geometriya kursi. M, Oliy maktab, 1967, 655 b.
. Beklemishev D.V. Analitik geometriya va chiziqli algebra kursi. M, Nauka, 1971, 328 b.
. Matematik jurnali «Kvant No1», 1978 yil.