Ikkinchi tartibli chiziq va to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyati

Qo‘shma yo‘nalishlar va bosh yo‘nalishlar
Berilgan yo‘nalishga qo‘shma diametr yo‘nalishi uchun (18) munosabat o‘rinli. Bu munosabatni (19) ko‘rinishda yoki
(20) ko‘rinishda ham yozish mumkin.
Ta’rif- 1. Ikkita va yo‘nalishlar uchun (20) munosabat bajarilsa, bu yo‘nalishlar (1) chiziqga nisbatan qo‘shma yo‘nalishlar deyiladi.
Bu munosabatda (1) tenglama koeffisentlari qatnashadi. Koeffitsientlar esa koordinatalar sistemasiga bog‘liq. Ikkita va yo‘nalishlar biror koordinatalar sistemasida (1) chiziqga nisbatan qo‘shma yo‘nalishlar bo‘lsa, ular ixtiyoriy koordinatalar sistemasida (1) chiziqga nisbatan qo‘shma yo‘nalishlar bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Biz koordinatalar sistemasidan koordinatalar sistemasiga (21) almashtirishlar yordamida o‘tsak, (1) tenglama
(22) ko‘rinishga keladi. Ikkita va yo‘nalishlar uchun qo‘shma bo‘lish sharti bo‘lgan (21) tenglikni (23) belgilash kiritib (24) ko‘rinishda, (1) tenglamani esa (25) ko‘rinishda yozish mumkin. Almashtirishlar formulasini (26) belgilash kiritib, matrisalar va vektorlar yordamida yozsak (27) ko‘rinishda bo‘ladi. Ikkinchi tartibli chiziqning (25) tenglamasiga (27) formuladagi ifodani qo‘ysak va , va
tengliklarni hisobga olsak, (25) tenglama quyidagicha o‘zgaradi:


(28)
Bu tenglamalarning oxirgisidan ko‘rinib turibdiki yangi koordinatalar
sistemasidagi koeffitsientlardan iborat matritsa qoida bo‘yicha o‘zgaradi va
(29) tengliklar o‘rinli ekanligini ko‘rish mumkin.
Biz vektorning eski koordinatalarini bilan, yangi koordinatalarini bilan belgilasak, tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikni hisobga olib , vektorlarning yangi koordinatalarini , bilan belgilasak tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikdan (24) tenglik (30) tenglikga teng kuchli ekanligi. kelib chiqadi. Demak , vektorlarning (1) chiziqqa nisbatan qo‘shma bo‘lishi koordinatalar sistemasiga bog‘liq emas.
Ikkinchi tartibli chiziqning markazi tushunchasi koordinatalar sistemasiga bog‘liq emasligini biz 1-paragrafda geometrik ravishda ko‘rsatgan edik. Hozir esa yuqoridagi almashtirishlar formulasini keltirganimizdan keyin bu faktni algebraik isbotlashimiz mumkin. Haqitan ham biz sistemani (31)
ko‘rinishda yozishimiz mumkin. Ikkinchi tomondan yangi koordinatalar sistemasida bu tenglik ko‘rinishda (32) ko‘rinishda bo‘ladi. YUqoridagi almashtirish formulalarni hisobga olib, uning (31) tenglikga teng kuchli ekanligini ko‘rsatamiz. Bu tenglikda , , almashtirishlarni bajarsak, u
(33) ko‘rinishga keladi.Bu tenglikda tenglikni hisobga olsak, (34) tenglik (34) ko‘rinishda yoziladi. Bu tenglikdagi matritsaning determinanti noldan farqli bo‘lganligi uchun,bu tenglik (31) tenglikga teng kuchlidir.
Ta’rif-2. Birorta yo‘nalish o‘ziga perpendikulyar yo‘nalishga qo‘shma bo‘lsa, u bosh yo‘nalish deyiladi.
Bu ta’rifga ko‘ra yo‘nalish bosh yo‘nalish bo‘lishi uchun u yo‘nalishga qo‘shma bo‘lishi kerak. Albatta, agar yo‘nalish bosh yo‘nalish bo‘lsa, yo‘nalish ham bosh yo‘nalish bo‘ladi. Berilgan yo‘nalishning bosh yo‘nalish bo‘lish sharti tenglikda vektorni bilan almashtirish natijasida hosil bo‘ladi va quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: (35)
Agar maxsus yo‘nalish bo‘lsa, tenglik o‘rinli bo‘ladi va yuqoridagi (35) shart bajarilgan. Biz bilamizki, faqat bo‘lgan hollardagina ikkinchi tartibli chiziq maxsus yo‘nalishga ega bo‘lib, u ikkinchi tartibli chiziq uchun asimptotik yo‘nalish bo‘ladi. Demak yagona markazga ega bo‘lmagan ikkinchi tartibli chiziqlar uchun asimptotik yo‘nalish bosh yo‘nalish bo‘ladi. Albatta maxsus yo‘nalishga perpendikulyar yo‘nalish ham bosh yo‘nalish bo‘ladi. Boshqa bosh yo‘nalishlar yo‘q. Demak yagona markazga ega bo‘lmagan ikkinchi tartibli chiziqlar uchun o‘zaro perpendikulyar faqat ikkita bosh yo‘nalish mavjuddir.
YUqoridagi (35) tenglikda va munosabatlar bajarilsa, bu tenglik ixtiyoriy yo‘nalish uchun bajariladi. Demak bu holda ixtiyoriy yo‘nalish bosh yo‘nalish bo‘ladi. Agar bo‘lsa, (35) tenglik (va ) ifoda uchun kvadrat tenglama bo‘ladi. Bu tenglamada diskriminant uchun munosabat o‘rinli bo‘lgani uchun u ikkita ildizga ega va demak ikkinchi tartibli chiziq uchun ikkita o‘zaro perpendikulyar bosh yo‘nalish mavjud.
Ellips, giperbola va parabolaning optik xossalari