Ikkinchi tartibli chiziqlar. Aylana va ellips II tartibli tenglama va chiziqlar

Izoh. Agar a =(m, n, p) yo‘naltiruvchi vektorning biror koordinatasi 0 bo‘lsa, (1) kanonik tenglamadagi tegishli kasrning surati ham 0 deb olinadi. Masalan, n=0 bo‘lsa, unda L to‘g‘ri chiziq tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu holda a=(m,0,p) yo‘naltiruvchi vektor OY koordinata o‘qiga perpendikular joylashgani uchun L to‘g‘ri chiziq ham OY o‘qiga perpendikular bo‘ladi.

Fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi

Fazodagi to‘g‘ri chiziqning (1) kanonik tenglamasidagi o‘zaro teng bo‘lgan kasrlarning qiymatlarini t deb belgilaymiz. Bunda t parametr deb ataladi va ixtiyoriy haqiqiy qiymatni qabul eta oladi. Bu holda fazodagi to‘g‘ri chiziq tenglamasini quyidagi ko‘rinishga keltiriladi:

2-TA’RIF: (2) fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi.

Masalan, kanonik tenglamasi

bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi

x=5+3t, y=−1+4t, z=−2t

ko‘rinishda bo‘ladi.

Agar fazodagi to‘g‘ri chiziq (2) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, uning kanonik tenglamasiga o‘tish uchun har bir tenglamadan t parametr ifodasini topib, bu ifodalarni tenglashtirish kerak. Masalan, to‘g‘ri chiziq

x=−4+5t, y=6−3t, z=−1−2t

parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. Bu to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini topamiz:

Fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi

Fazodagi har qanday L to‘g‘ri chiziqni o‘zaro parallel bo‘lmagan qandaydir ikkita P₁ va P₂ tekisliklarning kesishish chizig‘i singari qarash mumkin. Bu P₁ va P₂ tekisliklar mos ravishda A₁x+ B₁y+ C₁z+D₁=0 va A₂x+ B₂y+ C₂z+D₂=0 umumiy tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin. Bu holda ularning kesishishidan hosil bo‘lgan L to‘g‘ri chiziqqa tegishli M(x, y, z) nuqtalar ham P₁, ham P₂ tekisliklarda yotadi va shu sababli ularning koordinatalari

(3)

chiziqli tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi.

3-TA’RIF: (3) sistema fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.

Agar fazodagi L to‘g‘ri chiziq (1) kanonik tenglamasi orqali berilgan va, masalan, p≠0 bo‘lsa, uning umumiy tenglamasiga quyidagicha o‘tish mumkin:

Hosil qilingan (4) sistema berilgan L to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi bo‘ladi, chunki bu sistema (3) ko‘rinishda bo‘lib, undan

A₁=p, B₁=0, C₁=−m, D₁=mz₀−px₀ va A₁=0, B₁=p, C₁=−n, D₂=nz₀−py₀

holda kelib chiqadi. Bunda L to‘g‘ri chiziq birinchisi OY, ikkinchisi esa OX o‘qiga parallel bo‘lgan tekisliklarning kesishishidan hosil qilinadi.

Izoh. Fazodagi berilgan L to‘g‘ri chiziqning (3) umumiy tenglamasini cheksiz ko‘p ko‘rinishda yozish mumkin. Bunga sabab shuki, bu L to‘g‘ri chiziq orqali cheksiz ko‘p tekislik o‘tkazish mumkin va ulardan ixtiyoriy ikkitasini tanlab olib, (3) umumiy tenglamaga kelib bo‘ladi. Yuqorida kanonik tenglamadan umumiy tenglamaga o‘tishda shu tekisliklar ichidan biri OY, ikkinchisi esa OX o‘qiga parallel bo‘lganlari olindi.

Masalan, kanonik tenglamasi

bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamalaridan birini topamiz:

.

Endi aksincha, ya’ni fazodagi to‘g‘ri chiziq (3) umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. Bu holda (3) sistemada biror o‘zgaruvchini, masalan z o‘zgaruvchini, erkli deb olamiz va

(5)

chiziqli tenglamalar sistemasini hosil etamiz. Bu sistemani yechib,

ko‘rinishdagi kanonik tenglamaga kelamiz.

Misol sifatida umumiy tenglamasi

(6)

bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalaridan birini topamiz:

Umumiy tenglamasi (3) bilan berilgan L to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini boshqa usulda ham topish mumkin. Buning uchun (3) sistemadagi biror o‘zgaruvchiga aniq bir qiymat beriladi. Masalan, z=z₀ deb olinib, (5) sistemadan x=x₀ va y=y₀ topiladi. Bu holda M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtani L to‘g‘ri chiziqning boshlang‘ich nuqtasi sifatida olish mumkin. Endi (3) sistemaga kiruvchi tekisliklarni P₁ va P₂ deb olsak, n₁=(A₁, B₁, C₁) va n₂=(A₂, B₂, C₂) ularning normal vektorlari bo‘ladi. Bu vektorlar mos ravishda P₁ va P₂ tekisliklarga perpendikular, L esa ularning kesishish chizig‘i ekanligidan , n₁ va n₂ normallarning ikkalasi ham L to‘g‘ri chiziqqa perpendikular bo‘ladi. Unda a= n₁× n₂ vektorial ko‘paytma L to‘g‘ri chiziqqa parallel vektorni ifodalaydi va shu sababli uning yo‘naltiruvchi vektori sifatida olinishi mumkin. Bu vektorning m,n, va p koordinatalari vektorial ko‘paytmaning ushbu formulasidan (III bob, §3, (2) formulaga qarang) topiladi: