Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

1 3-Ma’ruza
Ikkinchi va yuqori tartibli o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.Yuqori tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar. Umumiy yechim tuzilishi .


O‘zgarmas koeffitsientli n- (yuqori) tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.
Ushbu ko’rinishdagi differensial tenglama


o‘zgarmas koeffitsientli n- tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
Dastlab, n=2 bo’lgan holni, ya’ni Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalarni o’rganamiz.
Bu holda ushbu
(1)
tenglamaga kelamiz. Odatda, (1) tenglama ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli o‘zgarmas koeffitsientli differensial tenglama deyiladi.
Ma’lumki, (1) tenglamaning ikkita yechimlari (xususiy yechimlari) topilib, ularning chiziqli erkli bo‘lishi ko‘rsatilsa, unda  (1) tenglamaning umumiy yechimini topish mumkin.
Teorema. Agar va funksiyalar chiziqli bog‘liq bo‘lmagan (erkli) bo‘lib, ular (1) tenglamaning yechimlari bo‘lsa, u holda

funksiya (1) tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi, bunda va – ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
(1) tenglamaning xususiy yechimini
ko‘rinishda izlaymiz, bunda – o‘zgarmas (noma’lum) son.
Ravshanki,

Bu qiymatlarni (1) tenglamadagi lar o‘rniga qo‘yib topamiz:


(2)
Natijada noma’lum ni topish uchun kvadrat tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu (2) kvadrat tenglama (1) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Demak, xarakteristik tenglamaning ildizlariga ko‘ra (1) differensial tenglamaning xususiy yechimlari topiladi. (2) xarakteristik tenglamani yechib topamiz:

Bunda uchta hol ro‘y beradi¹:
1-hol. Agar bo‘lsa, (2) tenglama 2 ta turli haqiqiy va ildizlariga ega bo‘ladi. Bu ildizlarga mos (1) tenglamaning xususiy yechimlari

ular uchun

Demak, bu holda, yuqorida keltirilgan teoremaga ko‘ra, (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi