Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

bo‘ladi.
Misol. Ushbu

differensial tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Ravshanki, berilgan differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi

bo‘ladi. Bu tenglamani yechib, topamiz:


Demak, bo‘lib, berilgan tenglamaning umumiy yechimi
.
O‘zgarmas koeffitsientli n- (yuqori) tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.
Ushbu ko’rinishdagi differensial tenglama


o‘zgarmas koeffitsientli n- tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi.



1-teorema. Agar funksiyalar (1) tenglamani chiziqli erkli yechimlari bo’lsa, u holda
ifoda

1. 
   tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi, ihtiyoriy o’zgarmas sonlar.
   

Agar o’zgarmas sonlar bo’lsa, (1) tenglama 2-chi tartibli differensial tenglamalardek yechiladi :

1. 
   Xarakteristik tenglama tuzamiz :
   
2. 
   Xarakteristik tenglamani ildizlarini topamiz.
   
3. 
   a) Har bir haqiqiy - ildizga hususiy yechim mos keladi;
   

b) Har bir juft qo’shma kompleks (bir karrali) ildizga va hususiy yechim mos keladi;
c) Har bir, karrali haqiqiy - ildizga, ta chiziqli erkli hususiy yechimlar mos keladi;
d) Har bir karrali juft qo’shma kompleks ildizga ta


hususiy yechimlar to’gri keladi;

1 Glaudio Canito, Anita Tabacco Mathematical Analysis II pp. 405-408, 472-476.

2 James Stewart Calculus sixth edition 2008.USA pp. 1111-1117