Ilmiy rahbar: dots. U. Xonqulov Fargʻona2023 reja kirish Asosiy qism I bob chiziqlar nazariyasi

§ 2. Regulyaryoy. Oshkormas tenglama.
Oddiy va maxsus nuqtalar
Ushbu:
(1)
chiziqning regulyar yoyi deb shunday nuqtalar toʼplamiga aytiladiki, ular biror Dekart sistemasida
(2)

4-chizma
koʼrinishdagi tenglamani qanoatlan-tirib, funktsiya quyidagi uchta shartga boʼysunadi: 1) u bir qiymatli, 2) uzluksiz va 3) tegishli tartibli uzluk siz hosilalarga ega.
(1) chiziqdagi nuqtaning yetarli darajada kichi atrofi regulyar yey boʼlsa, biz bunday nuqtani shu chiziqning oddiy nuqtasi deb ataymiz. Chiziq ning oddiy boʼlmagan barcha puqtalari uning maxsus nuqtalari deyiladi. Shunday qilib, (1) chiziqning oddiy nuqtasi atrofida (1) va (2) tenglamalar ekvivalentdir (4-chizma), chunki regulyar yoydir (uning hamma nuqta larida uchala shart ham bajariladi). funktsiyaga nisbatan qoʼyilgan shartlar yoyning silliqligini, har bir nuqtasida muayyan urinma (chunki uzluksiz) borligini koʼrsatadi. Chizmada M, va Ma nuqtalar maxsus nuqtalar, chunki , nuqtada funktsiyaning bir qiymatliligi buziladi, da esa mavjud emas (ikkita urinma bor!). Oxirgi ikki nuqtani qanchalik kichik atrof bilan oʼrasak ham, regulyar yoy hosil boʼlmaydi.
(1) chiziqdagi nuqtaning oddiy boʼlishining yetarli shartini ifodalash qiyin emas. Buning uchun analizda isbotlanadigan oshkormas funktsiyaning mavjudlik teoremasini eslab oʼtish kerak bo’ladi.
Аgar nuqta (1) chiziqda yotib, funktsiya nuqta atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga ega va hosila shu nuqtada noldan farqli boʼlsa:

u holda faqat bitta
funktsiya mavjudki, u nuqtaning biror atrofida (1) tenglamani qanoatlantiradi va da qiymatni qabul qiladi funktsiya shu atrofda uzluksiz hosilaga egadir:

Аgar nuqtada , lekin boʼlsa ham teorema oʼz kuchini saqlaydi.
Boshqacha aytganda, ga nisbatan qoʼyilgan umumiy shartlardan (funktsiya va uning xususiy hosilalari uzluksiz) tashqari, nuqtada va hosilalar birdaniga nolga aylanmasa, yaʼni bulsa, u holda yuqoridagi uchta shartni qanoatlantiradigan funktsiya mavjuddir.
Аna shu teoremani tatbiq etsak, nuqtaning oddiy boʼlishi uchun yetarli shart kelib chiqadi.
Аgar (1) chiziqdagi biror nuqtada xususiy va xosilalar birdaniga nolga aylanmasa nuqta albatta oddiy boʼladi.
 Demak, (1) chiziqning maxsus nuqtalari mavjud boʼlsa, ularning va koordinatalari bir vaqtda quyidagi uchta tenglamani qanoatlantirishi kerak:

Mavjudlik teoremasidagi regulyarlik sharti bunday nuqtalarda buziladi.
Oddiy nuqtada urinma va normalning tenglamasini yozaylik; boʼlsa, urinmaning burchak koeffitsienti

boʼlib, buni ga qoʼysak, urinmaning tenglamasi chiqadi:

, da urinma oʼqqa paralleldir: . Normalning burchak koeffitsienti - ga teng, shu sababli, normalning tenglamasi ushbu koʼrinishda yoziladi:

Eslatma. Chiziq koʼrinishdagi tenglama bilan berilsa, uning hamma nuqtalari oddiy boʼlib, maxsus nuqtalar mavjud boʼlmaydi, chunki bu holda

boʼladi.
Misol. Dekart yaprogʼi berilgan: .
Uning nuqtasidagi urinma va normalining tenglamalarini tuzing.
Jazob. Urinma: ; normal: (bissektrisa)