Ilmiy-tadqiqot ishi va magistrlik dissertasiyasini tayyorlash

I bob. Kuetta oqimi
1-§. Matematik modeli
Ikkita aylanayotgan konsentrik silindr orasidagi qisilmaydigan yopishqoq suyuqlik xarakatini qaraylik. Bunday oqimga kuetta harakati deyiladi. Silindrik kordinata sistemasini tanlab olib, x o`qini silindrlarning umumiy o`qi bo`ylab yo`naltiraylik. Tezlik va uzunlik uchun xarakterli masshtablar va ixtiyoriy tanlaganda xam oqimni tavsiflovchi asosiy tenglamalar o`lchamsiz ko`rinishda quyidagicha yoziladi [1: -3]












(1)

Bu yerda o`lchamsiz koordinatalarni bildiradi, - differensial operator bo`lib, u quyidagi ko`rinishga ega

lar larning o`sishi yo`nalishi bo`yicha tezlik viktori komponentlari. Ushbu koordinatalar sistemasida barqarorlashuvchi (statsionar) oqim ushbu ko`rinishda ifodalanadi:


bunda


,


,
(2)

Oxirgi formulalarda va mos ravishda ichki va tashqi silindrlar radiuslarini bildiradi, va – ularning burchak tezliklaridan iborat.

Kichik qo`zg`alishlar uchun birinchi yaqinlashish tenglamalari quyidagi ko`rinishni oladi, bunda kichik qo`zg`alishlarga nisbatan ikkinchi va undan yuqori tartibli kichik miqdor bo`lgan xadlar inobatga olinmagan
,


,
(3)


,


.

Chegaraviy shartlar ushbu ko`rinishga ega:

agar (4)

Tenglama (3) va ga nisbatan davriy yechimga yo`l qo`yadi:

, (5)

Bu yerda va xaqiqiy miqdorlar. Xaqiqatdan xam xattoki butun bo`lishi xam mumkun. Ularning umumiy taxlili xozirgacha mavjud emas, mavjud tadqiqotlarda aylanuvchan simmetriyaga ega bo`lgan maxsus xol bilan cheklanishadi, ya`ni bilan. Bunday xolda yechim dan bog`liq bo`lmaydi, ammo, tezlik kompanentalari kesma teng emas.

Aylanuvchan simmetriyani e`tiborga olgan xolda oqim toq funksiyasi shunday tanlanadi
, . (6)

Bu xolda qo`zg`alishlarni quyidagicha ifodalash qulay

, , (7)
Bu yerda va funksiyalar va o`zgarmas б kompleks bo`lishi mumkun; xaqiqiy umumiylikka ta`sir etmasdan uni musbat deb xisoblash mumkun. Toq funksiyasini va tezlikning transversal kompanentasini toppish uchun, ifoda (7) ning xaqiqiy qismini olish lozim. Endi munosabat (6) va (7) ni e`tiborga olgan xolda kichik qo`zg`alishlar tenglamalari (3) ikkita oddiy differensial tenglamaga keltiriladi;
,
, (8)

Bu yerda
(9)

Chegaraviy shartlar (4) ushbu ko`rinishga ega boladi;
agar bo`lsa
Tenglamalar sistemasi (8) va (9) , agar o`zgarmaslar ushbu xarakteristik tenglamani qanoatlantirsa
(10)
Bir qiymatli yechimga ega boladi. Xozirgacha formulalarni chiqarishda xarakterli miqdorlar va aniq aniqlaanmagan edi. Endi biz deb faraz qilib, va ni quyidagicha olsak,
, (11)
Ushbu ko`rinishga ega bo`lamiz
,


, (12)
,
Va xarakteristik tenglama (10) ushbu ko`rinishni oladi;


. (13)

Berilgan barqarorlashgan (statsionar) oqim uchun va ma`lum. Shunday qilib munosabat (13), qo`zg`alishlarning xar bir soni uchun kompleks parameter ni aniqlashga imkon beradi.

2-§. Tekis Kuetta xarakati
Agar 1-§ da qaralgan masalada bo`lsa, bu xolda suyuqlikning xarakati oddiy siljishdan iborat bo`lib, bu siljish ikkita plastinkalash bir-biriga nisbatan siljish evaziga paydo bo`ladi. Bu laminar (qatkam) oqimlar orasida eng soddasi bo`lib, uning uchun
turg`unlik masalasi xam soda bo`ladi. Bu tashqi ko`rinishdangina shunday mulhaza yuritishga imkon beradi.
Ushbu tenglamani qaraylik;
(14)
Uning chegaraviy shartlari
agar da (15)
Tenglama (14) Orr-Zommerfeld tenglamasi deb ataladi. Tenglama (14) uchun to`rtta o`zaro bog`liq bo`lmagan yechimlardan iborat fundamental sistemani aniqlash mumkun. Ammo, qo`yilgan masala uchun uzil-kesil javob xozirgacha nazariy jixatdan xal qilinmagan barcha tadqiqotlar bu turdagi oqimlarning turg`unligini isbotlashga qaratilgan. Oqim barcha turdagi kichik qo`zg`alishlarga nisbatan turg`unmi degan masala hozirgacha o`z nixoyasiga yetmagan xisoblanadi.
3-§. Umumy Kuetta xarakati
Ikkita aylanayotgan konsentrik silindrlar orasidagi oqimi eksperimental yo`l bilan xosil qilish oson. Bu xolda silindrlar markazidan qochma kuch xosil bo`lishi evaziga murakkablik paydo bo`ladi. Xaqiqatdan xam ushbu vaziyat masalani taxlil qilishga yaxshi imkon beradi, xususan, Kuetta oqimi uchun gidrodinamik turg`unlik nazariyasida birinchi yorqin natija Dj. I. Teylor tomonidan olingan. Teylor taxlili murakkab murakkab bo`lsada, o`sha vaqtda u birinchi ijobiy natija edi. Bunga qo`shimcha ravishda Teylor o`z natijasini eksperiment o`tkazish orqali nazorat qildi. Keyingi nazariyachi va eksperimentator tadqiqotchilar Teylor xulosalariga rozi boldilar. Turg`unmaslik markazdan qochma kuch

evaziga paydo bo`lishi va yopishqoqlikning qo`zg`alishlarni so`ndirishga intilishi aniqlandi.

Tezlik ortgan paytda dastlab ikkilamchi oqimlar barqarorlashish ko`rsatiladi. Laminar oqimning turbulent oqimga aylanishi faqat yuqori tezliklarda ro`y berishi kuzatildi.