Integraldıń anıqlaması

Shınıǵıwlar

1. 
   Integraldı esaplań:
   

a) , bunda úshmúyeshlik bolıp, tóbeleri , ,
b) , bunda oblasttıń shegarası.
2.11. Koshidiń integrallıq formulası

Meyli kompleks tegisliginde shegaralanǵan hám shegarası sıypaq iymeklikten ibarat oblastı berilgen bolsın. Bul tuyıq iymeklik oń baǵıtlanǵan dep uyǵarayıq hám kóplikte funkciya anıqlanǵan bolsın.

2.11.1-teorema. Eger funkciyası oblastta golomorf hám úzliksiz bolsa, onda ushın
(2.49)
orınlı boladı.
Dálilleniwi. oblastta qálegen noqat alıp, onıń dógeregin qaraymız, bolsın. Bul oblasttıń shegarası boladı. Endi shegarası bolǵan, oblasttı qarastıramız.
Meyli usı oblastta funkciya ózgeriwshisiniń funkciyası sıpatında golomorf bolıp, onıń shegarasında úzliksiz boladı. Onda Koshi teoreması boyınsha
,
yaǵnıy
(2.50)
boladı. Eger

ekenligin esapqa alsaq, onda (2.50) teńlikten
(2.51)
kelip shıǵadı.
Solay etip, integralda sheńber ushın , bolǵanlıǵı sebepli bolıp,
boladı. Bul teńliktiń eki jaǵın ke kóbeytemiz:
(2.52)
Endi

ayırmanı qaraymız. Bul ayırmanı (2.51) hám (2.52) paydalanıp,
(2.53)
jazamız. Shárt boyınsha funkciyası noqatta golomorf bolsa, onda funkciya sol oblastta úzliksiz. Onda sanı alınǵanda sonday sanı tabılıp, teńsizlikti qanaatlandırıwshı sheńberdiń qálegen noqatı ushın teńsizlik orınlı boladı. Bunnan

Demek,
(2.54)
Solay etip, nol’ge umtılǵanda (2.53) ayırmanıń moduli jeterlishe kishi boladı.
Bul jerde,

ańlatpa ǵa baylanıslı emes, onda (2.54) dan

yaǵnıy

kelip shıǵadı. Ádette (2.49) formula Koshi integrallıq formulası dep ataladı. Koshi integrallıq formulası golomorf funkciyanıń oblasttaǵı mánislerin onıń shegarası daǵı mánisleri arqalı anıqlawǵa múmkinshilik beredi.
Endi Koshi integrallıq formulasın dara jaǵdayda, shegarası sheńberden ibarat oblast ushın keltiremiz.
kompleks tegislikte dóńgelekti qarastırayıq. Bul dóńgelektiń shegarası sheńber boladı.
Meyli funkciyası kóplikte berilgen bolsın.
2.11.2-teorema. Eger funkciyası oblastta golomorf bolıp, úzliksiz bolsa, onda
.