Integrallawshi ko’beytiwshi teoriyasi Tayarlag’an : Jumabaev Arislan

Integrallawshi ko’beytiwshi teoriyasi

Tayarlag’an : Jumabaev Arislan

Integrallawshi ko’beytiwshi haqqinda mag’lumat.

G oblastta aniqlang’an qandayda bir U(x,y) funktsia ushin

(1)

ten’lik orinli bolmasin. Ayrim jag’daylarda (2)

ten’lemenin’ shep ta’repin qandayda μ(x,y) funktsiyag’a ko’beytip oni toliq differentsialg’a keltiriw mumkin.

 

Aniqlama.

Aniqlama.

Eger G oblastta berilgen ha’m qandayda μ(x,y) funktsiyalar ushin to’mendegi

(3) Qatnasi orinli bolsa, (2) differentsial ten’leme toliq differentsiallig’a keltiriletug’in ten’leme, μ(x,y) funktsiya bolsa onin’ integrallawshi ko’beytiwshisi delinedi.

•  

Teorema.

Teorema.

Eger bolip, funktsiya intervalda aniqlang’an ha’mde (3) ten’lemenin’ sheshimi bolsa, onda sol funktsia

(2) - ten’lemenin’da usi intervalda aniqlang’an sheshimi boladi.

•  

Dalili

Shartke ko’re, ha’m funktsiya (3) nin’ seshimi. Demek, to’mendegi

Birdeylik kelip shg’adi . Bunnan

, birdeylik kelip shig’adi. Bul bolsa y(x) funktsiya (2) ten’lemenin’ sheshimi ekenin bildiredi.

•  

Bul teoremadan (2) ten’leme toliq differentsialli bolmag’an halda tiyisli integrallawshi ko’beytiwshi jardeminde payda qiling’an toiq differentsiyalli ten’lemenin’ uliwma integrali berilgan (2) ten’lemenin’da uliwma integrali ekenligi kelip shig’adi.

• Bul teoremadan (2) ten’leme toliq differentsialli bolmag’an halda tiyisli integrallawshi ko’beytiwshi jardeminde payda qiling’an toiq differentsiyalli ten’lemenin’ uliwma integrali berilgan (2) ten’lemenin’da uliwma integrali ekenligi kelip shig’adi.

•  

Endi integrallawshi ko’beytiwshini toliqlaw uyrenemiz . (3) ten’leme toliq differentsialli bolsin. Onda G oblastta

Endi integrallawshi ko’beytiwshini toliqlaw uyrenemiz . (3) ten’leme toliq differentsialli bolsin. Onda G oblastta

(4)

birdeylik orinli boladi. Bunnan tuwindilardi esaplasaq,

yaki

( )

yaki desek,

(5)

qatnasina kelemiz.

•  

Bul funktsiyag’a qarata birinshi tartipli dara tuwindili bir tekli bolmag’an differentsial ten’leme. Biz ushin usi (5) ten’lemenin’ qandayda dara sheshimin biliw jetkilikli. Bunday sheshim noqatinin’ jeterli kishi do’gereginde funktsiyalar G oblastta uzliksiz bolg’ani ushin hamme waqit bar boladi.

Bul funktsiyag’a qarata birinshi tartipli dara tuwindili bir tekli bolmag’an differentsial ten’leme. Biz ushin usi (5) ten’lemenin’ qandayda dara sheshimin biliw jetkilikli. Bunday sheshim noqatinin’ jeterli kishi do’gereginde funktsiyalar G oblastta uzliksiz bolg’ani ushin hamme waqit bar boladi.

•  

Teorema Eger (2) differentsial ten’leme uliwma integralg’a iye bolsa, onda bul ten’leme ushin integrallawshi bar boladi.

Dalili. Ko’rinip turg’aninday

yaki

desek, boladi.

Egerr , bo’lsa,

ten’lemeden tegisliktin’ qalegen noqati sheshim bola aliwi kelip shig’adi

•  

yag’niy bul jag’dayda integrallawshi ko’beytiwshi differentsial ten’lemege iye bolamiz. Eger

yag’niy bul jag’dayda integrallawshi ko’beytiwshi differentsial ten’lemege iye bolamiz. Eger

maselen ,

bolsa, biz yaki qa iye bolamiz.

Bul jag’dayda qalegen vertikal tuwri siziq integral siziq boladi.

Ekinshi ta’repten, ge ko’re .

Sonin’ ushin yaki .

•  

Ten’likleri arqali G oblastta aniqlang’an funktsiyani kiritisw mumkin. Endi

Ten’likleri arqali G oblastta aniqlang’an funktsiyani kiritisw mumkin. Endi

Qatanaslardan funktsiya (2) differentsiyal ten’leme ushin integrallawshi ko’beytiwshi ekeni kelip shig’adi.

•  

Teorema

Eger (2) differentsiyal ten’lemenin’ integrallawshi ko’beytiwshisi bolip, funktsiya usi ten’lemenin’ integrali bolsa, onda qalegen

(6)

funktsiyada integrallawshi ko’beytiwshi boladi.

•  

Teorema

• (2) differentsiyal ten’lemenin’ qalegen integrallawshi ko’beytiwshisi to’mendegi
• ()
• Formula menen beriledi, bunda qandayda bir integrallawshi ko’beytiwshi F bolsa (2) ten’leme integrali U bolsa onin’ qalegen uzliksiz funktsiyasi .
• Soni aytip otiwimiz kerek, bul teoremadan eki qatan’ parq qiliwshi va integrallawshi ko’beytiwshiler ma’lim bolg’anda differentsiyal ten’lemenin’ iliwma integrali
• ekeni kelip shig’adi.

•  

Integrallawshi kobeytiwshini tabiwdin’ dara jag’daylari

Gumansiz . Integrallawshi ko’beytiwshi tek x tin’ yaki y tin’ funktsiyasi bolg’an jag’daylar en’ apiwayi bolg’an jag’day.

• bo’lsin. Onda (5) ten’leme a’piwayilasadi. (sebebi ):

yaki (7)

funktsiya ushin joqarida aling’an shartten (7) ten’lemenin’ on’ ta’repi tek g’ana x tin’ funktsiyasi boliwdan ibarat.

•  

(7) nin’ Eki tarepin den qa deyin integrallaymiz:

(7) nin’ Eki tarepin den qa deyin integrallaymiz:

(8)

Bizdi qandayda bir integrallawshi ko’beytiwshi qiziqtirg’ani ushin C=1 dep alsaq boladi.

•  

Endi bolsin (6) ten’leme bunday koriniske keledi:

Endi bolsin (6) ten’leme bunday koriniske keledi:

Buni den qa deyin integrallaws natiyjesinde

(9)

an’latpasin alamiz

•  

v) bolsin . (2) differentsial ten’leme integrallawshi ko’beytiwshige iye boliw shartin qaraymiz.

v) bolsin . (2) differentsial ten’leme integrallawshi ko’beytiwshige iye boliw shartin qaraymiz.

(6) den

yaki

(10)

ge iyemiz, bul jerde

•  

• Solay etip , eger an’latpa (10) ko’riniste jaziliwi mumkin bolsa, onda (1) ten’leme ko’riniste integrallawshi ko’beytiwshige iye boladi, bunda ha’m funktsiyalar (11) fo’rmulalar jardeminde tabiladi

•