International research journal

Methods and materials 
This paper presents a method for determining the angular distribution of crystallites in polycrystals, based on the use of 
experimental data of X-ray texture analysis. The texture of the metal sample was investigated on a DRON-0.5 X-ray 
diffractometer by the method of reverse pole figures [6]. Figure 1 shows the positions of the crystallographic orientations on the 
reverse pole figure for hcp metals. 
Fig. 1 – Pole distribution on a reverse pole figure 
The pole densities
𝑃
ℎ𝑘𝑙
on the stereographic triangle were determined using the Morris method: 
𝑃
ℎ𝑘𝑙
=
𝐼
ℎ𝑘𝑙
𝐼
ℎ𝑘𝑙
𝑠𝑡
∑ 𝐴
ℎ𝑘𝑙
∙
𝐼
ℎ𝑘𝑙
𝐼
ℎ𝑘𝑙
𝑠𝑡
∆
,
 
where 
𝐼
ℎ𝑘𝑙
– integrated intensity of X-ray reflection for the {
ℎ𝑘𝑙} orientation of crystallites of the sample under study, 
𝐼
ℎ𝑘𝑙
𝑠𝑡
– integrated intensity of X-ray reflection for the {
ℎ𝑘𝑙} orientation of the crystallites of the standard sample, 
𝐴
ℎ𝑘𝑙
– Morris coefficients. 
For the majority of metals with an hcp structure, 17 crystallographic orientations are studied to construct reverse pole figures. 
The calculation of crystallite fractions was carried out for the case of sharp textures, taking into account the Morris 
coefficients and the repeatability factor: 
𝐹
ℎ𝑘𝑙
=
𝑀
ℎ𝑘𝑙
∙
𝐼
ℎ𝑘𝑙
𝐼
ℎ𝑘𝑙
𝑠𝑡
∑ 𝑀
ℎ𝑘𝑙
∙ ∑
𝐼
ℎ𝑘𝑙
𝐼
ℎ𝑘𝑙
𝑠𝑡
∆
𝑛
,
 
where 
𝐹
ℎ𝑘𝑙
– fraction of crystallites that corresponds to the orientation {
ℎ𝑘𝑙}, 
𝑀
ℎ𝑘𝑙
– repeatability factor for orientation {
ℎ𝑘𝑙}, 
n – number of investigated crystallographic orientations.
In metal samples with an hcp crystal lattice, after plastic deformation by rolling, a basic type crystallographic texture is often 
formed [16–18]. In this case, the rolling plane is the isotropy plane of tensor physical quantities of the second rank [3]. Therefore, 
of interest is the angular distribution of crystallites relative to the normal to the rolling plane (distribution over the polar angle 
θ). Determination of this distribution can be considered the first stage of restoration of a three-dimensional ODF. 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
141 
A polar angle θ corresponds to each crystallographic orientation. Therefore, not only the distribution of the pole density 
𝑃
ℎ𝑘𝑙
over the crystallographic orientations is of interest, but also the angular distribution of the crystallite fractions F (θ) over the 
polar angle θ. 
On the basis of the inverse pole figures, one can obtain the angular distribution of the crystallite fractions F (θ) over the polar 
angle θ. The experimental dependence F (θ) can be used to calculate the crystallite distribution function 
𝑓(𝜃) over the polar 
angle θ. This calculation can be done using polynomial regression. 
The crystallite distribution function 
𝑓(𝜃) can be used to calculate the anisotropic physical properties of a polycrystal [3]: 
𝑆
𝑝
= 𝑆
⊥
+ (𝑆
∥
− 𝑆
⊥
) ∫ 𝑓(𝜃) ∙ 𝑐𝑜𝑠
2
(𝜃)𝑑𝜃
𝜃
,
 
where 
𝑆
⊥
, 𝑆
∥
– the single-crystal parameters of the hcp metal. 
High-purity dysprosium (polycrystalline material with a hexagonal crystal structure: 
𝑎 = 0,35915 𝑛𝑚, 𝑐 = 0,56501 𝑛𝑚) 
was selected as samples for the study. To obtain a crystallographic texture, the sample under study was deformed by cold rolling 
without using recrystallization annealing.