International research journal

 
(18) 
Для мгновенного возмущения среды в момент t=0, заданным одним постоянным градиентом скорости G, из 
уравнения (10) имеем следующую систему уравнений: 
d < x
1
2
> dt
⁄
+ 2æ
−1
[< x
1
2
> −1] = 2G < x
1
x
2
>
; 
d < x
1
x
2
>
dt
⁄
+ 2æ
−1
[< x
1
x
2
> −1] = G < x
2
2
>
; 
d < x
2
2
> dt
⁄
+ 2æ
−1
[< x
2
2
> −1] = 0
; 
d < x
3
2
> dt
⁄
+ 2æ
−1
[< x
3
2
> −1] = 0
; 
d < x
1
x
3
> dt
⁄
+ 2æ
−1
[< x
1
x
3
> −1] = G < x
2
x
3
>
; 
d < x
2
x
3
> dt
⁄
+ 2æ
−1
[< x
2
x
3
> −1] = 0
. 
(19) 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
37 
Из системы неоднородных уравнений (19), находим соответствующие моменты <
x
i
x
j
>, начальным условием 
которых являются:
2
2
2
1
2
3
x
x
x
1




; 
3 1
1 2
2 3
x x
x x
x x
0




.
Последовательное решение системы (19) приводит к следующим выражениям для ненулевых моментов:
2
2
2
3
x
x
1;



〈x
1
x
2
〉 = 0.5Gæ(1 − exp(−2æ
−1
t)) 
〈x
1
2
〉 = 1 + 0.5G
2
æ
2
[1 − exp(−2æ
−1
t) − 2æ
−1
𝑡exp (−2æ
−1
t)] 
 
(20) 
Уравнения (20) отражают конформационные структурные изменения релаксационной полимерной системы в 
процессе деформирования. Градиент скорости деформирует диагональную компоненту <
x
1
x
2
> тензора моментов и 
эластично растягивает компоненту относительно начальных значений 
2
1
x


− 1.
В соответствии с (20), при t → 

, имеем: 
x
 
= 
2
2
1
2
1 2
x
x
x x

  



= Gæ
 
(21) 
x
 
- тензорный параметр, характеризующий изменение структурных компонент деформируемой системы в 
результате релаксационных явлений. Из определяющего уравнения (18), в соответствии с (20), находим соотношения 
для компонент тензора напряжений, характеризующие реодинамические характеристики потока:
τ 
12
=
ε
Gæ
2
(1 −
ε
xp(−2æ
−1
t)), где 0.5
ε
æ =

P
11
−P
22
=
εG
2
æ
2
2
[1 −
ε
xp(−2æ
−1
t) − 2æ
−1
𝑡
ε
xp(−2æ
−1
t)]. 
 
(22) 
На рис.3 представлен характер изменения сдвигового компонента импульса (
ε
12
τ 2 τ

), а на рис.4 характер 
изменения первой разности нормальных компонент 


ε
11
22
P
2(
)
P
P


девиатора тензора напряжений отклонения 
системы от равновесного состояния, вызванного импульсным градиентом скорости сдвига G. Видно, что сдвиговый 
τ
и разностный
P
отклик напряженного состояния системы на немгновенный и нелокалный перенос импульса имеет 
различный характер. Следует отметить важную особенность полученного результата: реологически измеряемая первая 
(соотношение (22)) и вторая (P
22
−P
33
) разности нормальных напряжений не зависят от термодинамически 
неопределенной величины давления P. Следует также отметить, что (P
11
−P
22
) >>( P
22
−P
33
) [3], [14].
Рис. 3 – Влияние Dе и Wе
 
на величину и характер изменения сдвиговой компоненты девиатора тензора напряжений 

---

Международный научно-исследовательский журнал ▪ № 1 (103) ▪ Часть 1 ▪Январь 
38 
Рис. 4 – Влияние Dе и Wе
 
на величину и характер изменения первой разности нормальных 
компонент девиатора тензора напряжений 
На рис.3 видно, что немгновенный и нелокалный (запаздывающий) отклик среды с релаксационной 
микроструктурой на сдвиговые возмущения имеет монотонный характер и существенен при числах Wе > 3. 
В отличие 
τ
, в той же области определяющих процесс параметров, на рис. 4 имеем более сложный, характер 
изменения 
P
, из которого также следует, что областью мгновенного и локального отклика среды на сдвиговые 
возмущения является область Wе < 3. В этой области деформирования сред с релаксационной микроструктурой можно 
пользоваться приближением, приведенным для сред с ориентационной микроструктурой. Этот результат представляет 
интерес для исследования сред с релаксационной микроструктурой в конкретном диапазоне изменения 
технологических параметров процесса. 
В области чисел Wе > 3 в процессе деформирования уже имеет место нелокальный и немгновенный переход малого 
элемента среды к новому равновесному состоянию. Нельзя в этом случае при деформировании среды совершить 
однородный сдвиг, не прикладывая дополнительных поперечных усилий основному потоку. Этот вывод соответствует 
реометрическим измерениям и связан с действием разностей нормальных напряжений компонентов девиатора тензора 
напряжений. 
Таким образом, непосредственное использование основных принципов неравновесной термодинамики, из-за 
релаксационной неравновесности энтропии состояния малого масштаба системы (4), оказывается проблематичным. 
Особенно это отражается в ускоряющихся потоках [15] (внешнее обтекание поверхностей, участки стабилизации в 
формующих каналах и т.п.), а также в каналах сложной геометрии, в которых реодинамические свойства среды с 
релаксационной микроструктурой проявляются по-разному в зависимости от свойств и геометрии потока [3], [16].
Представленные данные на рис.3 и рис.4 характеризуют роль чисел Wе и Dе, то есть соответственно 
пространственно - временных масштабов потока в неравновесном процессе переноса импульса.
Из уравнения (10) видно, что быстропротекающие и микромасштабные процессы переноса должны сопровождаться 
отклонением полимерной системы от равновесного состояния 

x
i
x
j



ij

. Такие процессы переноса нелокальны как 
в пространстве, так и во времени. Поэтому они не могут быть адекватно описаны классическими (мгновенными и 
локальными) параболическими уравнениями линейной неравновесной термодинамикой.
Управляя величинами Dе, Wе, можно интенсифицировать неравновесные компоненты 
τ
и 
P
тензора переноса 
импульса, а их соотношением формировать структурно-релаксационные масштабы 


x
~
полимерных систем. 
Неравновесные состояния существенно проявляются при Dе ~ 1. При этом 
τ
, 
P
, 


x
~
от числа De зависят 
нелинейно. Зависимость
τ
, 


x
~
от We – линейная; зависимость 
P
от We – нелинейная. 
Из анализа системы уравнений (22) следует, что при прочих равных условиях с изменением G касательные 
напряжение релаксирует в равновесное состояние интенсивнее первой разности нормальных напряжений. Время 
релаксации зависит от уровня G, с которого началась релаксация. Чем больше G, тем меньше время релаксации. Для 
данного мгновенного возмущения G напряженное состояние τ
12
вначале превышает по величине 
P
11
−P
22
, 
затем они 
выравниваются. В дальнейшем τ
12
становиться значительно меньше 
P
11
−P
22
.
При t → 

из (20), то есть для установившегося течения, имеем: 
2 2
i
j
1 0.5G æ Gæ 0
x х
Gæ 1 0
0 0 1


