Irratsional funksiyalarni integrallash

ko’rinishdagi integralni qaraymiz. Bu integral

almashtirish bilan ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. Bu yerda k soni kasrlarning umumiy maxraji.

Ba’zi hollarda ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham uchraydi. Bunday integrallar Eyler almashtirishlari deb ataluvchi quyidagi almashtirishlar yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.

I. Eylerning birinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,

almashtirish qilamiz. U holda,

+ bo’ladi. Bundan ni ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.



Bu yerda ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Shunday qilib, bo’lib u ning ratsional funksiyasi bo’ladi.

II. Eylerning ikkinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,

almashtirish qilamiz. (aniqlik uchun oldidagi ishorani olamiz). U holda ()²=()², Bundan ni ning quyidagi ratsional funksiyasini aniqlaymiz.

. Shunday qilib, va lar orqali ratsional ifodalangani uchun x, dx va larning t orqali ifodalarini berilgan integralga qo’yib t ga nisbatan ratsional funksiyaning integraliga kelamiz.

III. Eylerning uchinchi almashtirishi. Aytaylik va lar uchxadning haqiqiy ildizlari bo’lsin.

= deb olamiz. U holda, ++c=(x-)(x-) bo’lgani uchun =, (x-)(x-)²t²,

(x-)=² bo’ladi. Bundan esa ni hosil qilamiz. x, dx va lar t ning ratsional funksiyasi bo’lganligi uchun, berilgan integral t ning ratsional funksiyasini integralidan iborat bo’ladi.

Ba’zi bir irratsional funksiyalarni trigonometrik almashtirishlar yordamida ham hisoblash mumkin.

integralni qaraymiz. Bu yerda ao va 0 deb olamiz.

Ildiz ostidagi uchhadning ko’rinishini o’zgartiramiz.

=a²+, deb olsak, bo’ladi va tenglik hosil bo’ladi. Bu yerda ni va larni qiymatlari turlicha bo’lishi mumkin. Ularning qiymatlariga qarab, ba’zi bir belgilashlardan so’ng berilgan integral quyidagi integrallardan biriga keltiriladi.

I. ,

,

III. .

Bunda I-integral t= tgz almashtirish orqali, II-integral almashtirish orqali, III-integral almashtirish orqali

integralni hisoblashga keltiriladi.