Irratsional ko‘rsatkichli daraja

Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar. Ko‘rsatkichli funksiya
Irratsional ko‘rsatkichli daraja. a > 0, a*l soni va x > 0 irratsional son berilgan bo‘lsin. r_n ratsional sonlar x ga kami Man, s_m ratsional sonlar ortig‘i ЬИап (o‘nli) yaqinlashsin, r_n < x < s_m,
n, m eN. U holda a > 1 da a^r" < x < a^Sm bo‘ladi. Bu esa barcha
a^r" sonlarning A to‘plami a^s™ sonlar В to‘plamining chap tomonida yotishini va bu to‘plamlarni hech bo‘lmasa bitta son ajratishini bildiradi. Bu son irratsional ko‘rsatkichli a^x darajaning qiymati sifatida qabul qHinadi.
0 < a < 1 holi ham shunday qaraladi. Faqat bunda A va В to‘plamlarning rollari almashadi.
Irratsional ko‘rsatkichli a^x darajaning xossalari ratsional ko‘r­satkichli darajaning xossalariga o‘xshash (a, b lar musbat, a va p lar haqiqiy sonlar):
1) (abT = a^ab^a; 2) {-J = ^ ; 3) rf = cf-⁺ ?;
4) ^ = a^a"P; 5) (a^a)P= a^aP.
IP
Darajalarni taqqoslashda ushbu ta’kiddan ham foydalaniladi: Agar a > 1 va m eN bo‘lsa, a^m > 1 yoki л&" = а^ > 1, shu kabi a > 1 va ixtiyoriy r > 0 da a^r > 1 bo‘ladi. Agar a >\, r < s bo‘lsa, a^r < a^s bo‘ladi. Haqiqatan, a^s = a^r- a^s~^r > a^rl = a^r. Aksincha, a > 1 va Ъ<а^г<а>bo‘lsa, r <^bo‘ladi (isbot qiling). Shuningdek, 0 < a < 1 \a r < s bo‘lgan holda a^r > a^s bo'hshi ham shu kabi isbotlanadi.
M is о 1. 0,5^a > 0,5P bo‘lsa, a kattami yoki p mi? Yechish. a = 0,5, ya’ni 0 < a < 1 bo‘lgani uchun p > a.
Mashqlar

1. 
   Nolga teng bo‘lmagan a va b sonlari uchun (ab)^a = cP-b⁰-, aeR munosabatni isbot qiling.
   
2. 
   Quyidagi sonlardan qaysi biri katta:
   

a) 2¹'⁴¹ mi yoki 0,125 ^T mi; b) 3^ mi yoki 3^ mi?
8.3. Sonlarni o‘sib borish tartibida joylashtiring:
7^, (y/bf, л/7.
8.4. Ill -1 ayirmaning ishorasini aniqlang.

5. 
   Agar: a) (|) = 2 bo‘lsa, a ning; b) a + 4⁰'³^ = 5 bo‘lsa, a - 1 ning ishorasini aniqlang.
   

5. 
   3^ < 7 tengsizlikni isbotlang.
   

2. Ko‘rsatkichli fiinksiya va uning xossalari. a > 0, а ф 1 bo‘lsin. fix) = a^x tenglik bUan aniqlangan funksiya a asosli ко 'rsatkichli funksiya deyUadi. Bu funksiya barcha haqiqiy sonlar to‘plamida aniqlangan, Dif) = R, chunki a > 0 bo‘lganda a^x daraja barcha xeR uchun ma’noga ega. x ning istalgan haqiqiy qiymatida 0^х > 0 bo‘lgani uchun va ixtiyoriy b > 0 sonda a^x = b bo‘ladigan birgina xeR soni mavjud bo‘lgani uchun E(f) = R₊ bo‘ladi.
Xossalari:
1) a > 1 bo‘lsa, f{x) = a^x funksiya R da o‘sadi. 0 < a < 1 bo‘lsa, fix) = a^x funksiya R da kamayadi.
Isbot. a > 1 holni qarash bilan cheklanamiz. a > 1 va a < p bo‘lsin, bu yerda a, p sonlari ixtiyoriy haqiqiy sonlar. U holda P - a > 0, a > 1 bo‘lgani uchun a^~^a > a⁰ yoki a^~^a > 1 tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bundan, a^~^a-a^a > 1 a^ayoki «P > a^a hosil bo‘ladi. Demak, a < p dan a^a < «P ekani kelib chiqadi. Bu esa funksiya o‘suvchi ekanligini bildiradi.