Ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlar

Darajali qator xossalari.

Darajali qator hadlari u_n(x)=a_nxⁿ ko‘rinishdagi eng sodda, ya’ni natural ko‘rsatkichli darajali funksiyalardan, S_n(x) xususiy yig‘indilari esa n-darajali ko‘phadlar ko‘rinishidagi nisbatan sodda funksiyalardan iborat funksional qatordir. Shu sababli darajali qatorlar, boshqa funksional qatorlardan farqli ravishda, ko‘phadlarga xos bir qator xossalarga ega bo‘ladi. Bu xossalarni quyidagi teoremalar ko‘rinishida isbotsiz keltiramiz.
5-TEOREMA: Agar darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i ( – R , R) bo‘lsa, uning yig‘indisini ifodalovchi S(x) funksiya ( – R , R) oraliq ichida joylashgan har qanday [a, b] kesmada uzluksiz bo‘ladi .
Masalan, geometrik progressiya yordamida
(13)
darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i (–1, 1) va yig‘indisi S(x)=1/(1+x) funksiyadan iborat ekanligini ko‘rsatish mumkin va buni o‘quvchiga mustaqil ish sifatida qoldiramiz. Bu funksiya (–1, 1) oraliqda uzluksizligi ravshandir.
6-TEOREMA: Darajali qatorni uning ( – R , R) yaqinlashish oralig‘i ichida joylashgan har qanday [a, b] kesma bo‘yicha hadlab integrallash mumkin, ya’ni

. (14)
Masalan, (13) darajali qatorni kesma bo‘yicha hadlab integrallab,
,
natijani olamiz. Oxirgi tenglikda t o‘zgaruvchini x bilan almashtirib, yangi
(15)
darajali qatorga ega bo‘lamiz. Bunda x=–1 holda uzoqlashuvchi garmonik qator, x=1 holda esa Leybnits alomati shartlarini qanoatlantiruvchi va shu sababli yaqinlashuvchi bo‘lgan ishorasi navbatlanuvchi sonli qator hosil bo‘ladi. Demak, (15) darajali qatorning yaqinlashish sohasi ( –1, 1] bo‘lib, undan x=1 holda
(16)
tenglikni olamiz.
7-TEOREMA: Yaqinlashish oralig‘i ( – R , R) bo‘lgan darajali qatorni hadlab differensiallash mumkin va bunda hosil bo‘ladigan darajali qatorning yaqinlashish sohasi yana ( – R , R) oraliqdan iborat bo‘ladi, ya’ni
(17)
. (18)
Masalan, (13) darajali qatorni hadlab differensiallab va hosil bo‘lgan tenglikni (–1) soniga ko‘paytirib, ushbu darajali qatorga kelamiz:
.
(18) darajali qatorga yana 7-teoremani qo‘llash mumkin va bu jarayonni istalgan marta takrorlash mumkin. Bundan esa ushbu teorema o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:
8-TEOREMA: Agar (17) darajali qator ( – R , R) oraliqda yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning yig‘indisini ifodalovchi S(x) funksiya bu oraliqda ixtiyoriy marta differensiallanuvchi bo‘ladi. Bunda S^(m)(x) , m=1,2,3, ∙∙∙ , hosilalar (17) darajali qatorni ketma-ket m marta hadlab differensiallash orqali topiladi. Bunda hosil bo‘ladigan barcha darajali qatorlarning yaqinlashish sohasi ( – R , R) oraliqdan iborat bo‘ladi .
Ko‘rib o‘tilgan
(6)
darajali qator bilan birga
(19)
ham darajali qator deb ataladi. Bunda c=0 bo‘lsa, (6) darajali qator hosil bo‘ladi. (13) qator x–c=X belgilash orqali (6) ko‘rinishdagi darajali qatorga keltiriladi. Bu holda ham R yaqinlashish radiusi (11) yoki (12) formula orqali topilib, (13) darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i x=c nuqtaga nisbatan simmetrik bo‘lgan (c – R, c+R) oraliqdan iborat bo‘ladi. Masalan,

darajali qatorning yaqinlashish radiusini (11) Dalamber alomati yordamida topamiz:

.

Bu yerda ko‘rinishdagi I ajoyib limitdan (VII bob,§3 ga qarang) foydalanildi. Demak, berilgan darajali qatorda c=4 bo‘lgani uchun, uning yaqinlashish oralig‘i (c – R , c+R)=(3, 5) bo‘ladi.

Bundan tashqari (19) darajali qator uchun ham 5-8 teoremalar o‘rinli bo‘ladi.

Reja:

1. 
   Ishorasi almashuvchi sonlar qatori
   
2. 
   Leybnits teoremasi
   
3. 
   Ishorasi o’zgaruvchi sonlar qatori
   
4. 
   Abel teoremasi