Қисм халқалар, Идеаллар, гомоморфизмлар Қисм халқалар ва қисм майдонлар

Қисм халқалар, Идеаллар, гомоморфизмлар

• 
  Қисм халқалар ва қисм майдонлар.
  

Ушбу бўлимда халқанинг қисм халқаси бўлган идеал тушунчасини киритамиз. Бу тушунча группанинг қисм группаси тушунчасининг аналогидан иборат.
1-таъриф. халқа бўлсин. тўплам нинг қисм тўпламидан иборат бўлсин. Агар система группанинг қисм группаси ва барча лар учун бўлса, у ҳолда система халқанинг қисм халқаси дейилади.
система халқанинг қисм халқаси бўлсин. бўлганлиги учун амалга нисбатан ассоциативлик ва дистрибутивлик да ҳам ўринли бўлади. Шу сабабли, система ҳам ўзи халқа ташкил қилади. Одатда ва амаллар кўрсатилмасдан тўплам нинг қисм халқаси деб юритилади. ва лар майдон ташкил қилишганда, тўплам нинг қисм майдони деб юритилади.
Қуйидаги теорема халқанинг қисм тўплами қисм халқа бўлиши учун зарурий ва етарли шартларни беради. Бу шартлар бўш бўлмаган қисм тўпламнинг қисм халқа бўлиши ёки бўлмаслигини текширишни енгиллаштиради.
2 теорема. халқа бўлсин. нинг бўш бўлмаган қисм тўплами қисм халқа бўлиши учун барча лар учун ва шартларнинг бажарилиши зарур ва етарлидир.
Исбот. Даставвал, фараз қилайлик, нинг қисм халқаси бўлсин. У ҳолда нинг ўзи халқадан иборат бўлади ва барча лар учун ва шартлар бажарилади. Тескарисини кўрсатамиз. Барча лар учун ва шартлар бажарилсин. Барча лар учун бўлганлиги учун система группанинг қисм группаси бўлади. Шартга асосан барча лар учун бажарилади. 1 таърифга асосан тўплам нинг қисм халқаси бўлади.
3 мисол. 1) Жуфт бутун сонларнинг қисм тўплами , бутун сонлар халқаси нинг қисм халқасидан иборат. бирлик элементга эга бўлмаган халқадан иборат.
2) халқанинг қисм тўплами ни қараймиз. халқанинг қисм халқасидан иборат бўлади. коммутатив қисм халқа ва бирлик элементга эга эмас, лекин нолнинг бўлувчиларига эга, масалан, .
4 мисол. бўлсин. да қўшиш ва кўпайтириш амалларини қуйидагича аниқлаймиз:

.
Бутун сонларнинг кўпайтмаси ва айирмаси яна бутун сон эканлигидан барча лар учун


муносабатлар келиб чиқади. Демак, тўплам нинг қисм халқасидан иборат экан. Шуни таъкидлаймизки, коммутатив эмас, бирлк элементга эга, нолнинг бўлувчиларига эга эмас. Энди
элемент учун бўлади. Шунинг учун
бўлувчилар халқаси эмас.
5 мисол. қисм тўпламни қараймиз. да қўшиш ва кўпайтириш амалларини 4 мисолдагидек аниқлаймиз. У ҳолда бутун жуфт сонларнинг айирмаси ва кўпайтмаси яна бутун жуфт эканлигидан қисм тўплам нинг қисм халқаси эканлиги келиб чиқади. қисм халқа коммутатив эмас, бирлик элементга ва нолнинг бўлувчиларига эга эмас.