Қисм халқалар, Идеаллар, гомоморфизмлар Қисм халқалар ва қисм майдонлар

6 мисол. элементлари Z дан олинган барча ўлчовли матрицалар халқаси бўлсин. эса элементлари дан олинган барча ўлчовли матрицалар тўплами бўлсин. Жуфт бутун сонларнинг йиғиндиси, айирмаси ва кўпайтмаси яна жуфт бутун сон эканлигидан тўплам халқанинг қисм халқаси эканлиги келиб чиқади. коммутатив бўлмаган, бирлик элементга эга бўлмаган ва нолнинг бўлувчиларига эга бўлган халқадан иборат.

2 теоремани қисм майдонлар учун аналогини келтирамиз.

7 теорема. майдон бўлсин. нинг бўш бўлмаган қисм тўплами қисм майдон ташкил қилиши учун

• 
  битта элементдан кўп бўлган элементларни ўзида сақлаши;
  
• 
  Барча лар учун бўлиши;
  
• 
  Барча лар учун бўлиши
  

шартларнинг бажарилиши зарур ва етарлидир.
8 мисол. ва тўпламлар нинг қисм майдонларидан иборат.
9 теорема. халқа (майдон) бўлсин. эса нинг бўш бўлмаган қисм халқалари (қисм майдонлари) оиласи бўлсин. У ҳолда ҳам нинг қисм халқасидан (қисм майдонидан) иборат бўлади.
Исбот. Барча лар учун бўлганлигидан келиб чиқади ва . бўлсин. У ҳолда барча лар учун бўлади. нинг қисм халқа эканлигидан барча лар учун эканлиги келиб чиқади. Бу ердан келиб чиқади. Демак, кесишма нинг қисм халқасидан иборат.
Худди шундай ҳар бир қисм тўплам нинг қисм майдонидан иборат бўлса, кесишма ҳам нинг қисм майдонидан иборат бўлади.
ҳақиқий сонлар майдонининг барча қисм майдонлари кесишмаси рационал сонлар майдонидан иборат.
МАШҚЛАР.

• 
  чексиз тўплам бўлсин. У ҳолда 1 элементга эга бўлган халқадан иборат бўлади. бўлсин. Қуйидаги тасдиқларни исботланг.
  
• 
  тўплам нинг қисм халқасидан иборат.
  
• 
  бирлик элементга эга эмас.
  
• 
  Барча лар учун да нолнинг бўлувчисидан иборат.
  
• 
  Барча лар учун да нолнинг бўлувчисидан иборат.
  

Ечиш. 1.1. чекли тўплам бўлганлиги учун бўлади, шунинг учун бўш тўплам эмас. бўлсин. У ҳолда чекли бўлади, шунинг учун ҳам чекли бўлади. Энди бўлганлиги учун ҳам чекли бўлади. Демак, бўлади. Шундай қилиб, тўплам амалларига нисбатан ёпиқ. 2-теоремага асосан нинг қисм халқа эканлигини ҳосил қиламиз.

• 
  Фараз қилайлик, бирлик элементга эга бўлсин, яъни бирлик элемент бўлсин, у ҳолда ҳам чекли бўлади. Агар чексиз тўплам бўлса, шундай элемент мавжудки, бўлади. Лекин, бўлади. Бу ҳолда, бўлади. Бу эса зиддиятдан иборат. Демак, бирлик элементга эга эмас.
  
• 
  бўлсин. чекли, эса чексиз тўплам бўлганлиги учун шундай элемент мавжудки, бўлади. Лекин, бўлади. бўлганлиги учун нолнинг бўлувчисидан иборат бўлади.
  
• 
  бўлиб , бўлсин. У ҳолда шундай мавжудки, бўлади. бўлганлиги учун нолнинг бўлувчисидан иборат бўлади.
  
• 
  халқа бўлсин. Барча лар учун элемент нинг марказига тегишли бўлсин. У ҳолда нинг коммутатив халқа эканлигини кўрсатинг.
  

Ечиш. бўлсин. У ҳолда шартга асосан бўлади, яъни, бўлади. қисм халқалиги ва эканлигидан келиб чиқади. Демак, тенглик ўринли. Бу ердан эса ни ҳосил қиламиз. Бу тенгликдан келиб чиқади. Энди эканлигидан тенгликни ҳосил қиламиз. Бу ердан тенгликни, бу тенгликдан эса ни ҳосил қиламиз. Демак, коммутатив халқадан иборат экан.

• 
  Бутун сонлар халқаси нинг барча қисм халқаларини топинг. Шу қисм халқалар ичидан бирлик элементга эга бўлмаган қисм халқаларни топинг.
  

Ечиш. манфий бўлмаган бутун сон ва бўлсин. Бу ҳолда бўлади. лар нинг иккита элементи бўлсин. У ҳолда бўлади. Демак, тўплам нинг қисм халқасидан иборат. Энди агар тўплам нинг ихтиёрий қисм халқасидан иборат бўлса, бирор манфий бўлмаган учун эканлигини кўрсатамиз. қисм тўплам нинг қисм халқаси бўлсин. Агар бўлса, у ҳолда бўлади. Фараз қилайлик, бўлсин. У ҳолда шундай мавжудки, бўлади. Энди бўлганлиги учун ўзида мусбат бутун сонни сақлайди. Яхши тартиблаш принципига асосан ўзида энг кичик мусбат сонни сақлайди. нинг ана шундай энг кичик мусбат сони бўлсин. У ҳолда бўлади. Энди бўлсин. Бўлиниш алгоритмига асосан шундай бутун лар мавжудки, муносабатлар ўринли бўлади. эканлигидан келиб чиқади. да нинг минималлигидан эканлиги келиб чиқади. Бу ердан ни ҳосил қиламиз. Демак, . Агар бўлса, у ҳолда бирлик элементга эга бўлмаслиги равшан.

• 
  тўплам майдоннинг қисм майдони эканлигини кўрсатинг.